1、河北定州中学2017届新高三数学周练（四）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1已知O为坐标原点，双曲线的左焦点为，以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B，O三点，且关于的方程的两个实数根分别为和，则以为边长的三角形的形状是（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C 锐角三角形 D等腰直角三角形 2已知，若，则实数（ ）A B3 C6 D83函数是定义在上的奇函数，当时，则方程在上的所有实根之和为（ ）A0 B2 C4 D64已知直线与双曲线（）的渐近线交于两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值（ ）A B C D5已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）A
2、4 B8 C16 D326已知，又若满足的有四个，则的取值范围为（ ）A BC D7设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且则的值为（ ）A2 B C3 D8已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的（ ）A BC D9已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）A BC D10点是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）A B C D11已知函数，且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A B或C或 D或12过双曲线左支上一点作相互垂直的两条直线分别经过两焦点,其中一条与双曲线
3、交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D二、填空题：共4题 每题5分 共20分13已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点 ，则直线的斜率为 14已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则_.15已知,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 . 16已知函数，若存在，当时，则的取值范围是 三、解答题：共8题 共70分17已知函数（）求此函数的单调区间及最值；（）求证：对于任意正整数，均有1（e为自然对数的底数）18工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人
4、只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（1）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需要派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小19已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程；（
5、2）如果过点可作曲线的三条切线, 求实数的取值范围.20如图，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.（1）求椭圆的离心率；（2）若的面积为, 求椭圆的方程21已知函数.（1）讨论的单调性与极值点；（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：.22已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.23如图，在四棱锥中，平面， （1）若为的中点,求证:平面；（2）求三棱锥的体积. 24已知函数.（1）求的值；（2）求使成立的的取值集合.参考答案1A【解析】试题分析：因为，所以三角形为等腰直角三角形，即，所以，所以该三角
6、形为钝角三角形，故选A考点：1双曲线的标准方程与几何性质；2向量加法及数量积的几何意义；3余弦定理【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、向量加法及数量积的几何意义、余弦定理，中档题圆锥曲线的几何性质与正、余弦定理是高考的高频考点，本题将两者及向量有机的结合在一起，体现了试题的综合性与学生分析、解决问题的能力玘运算能力，是本题的亮点2C【解析】试题分析：,解之得，故选C考点：1向量坐标运算；2向量的数量积与模3C【解析】试题分析：由题意可知，当时，由奇函数性质可知，的所有实根之和为，当时，,由得，当当时，,方程无解,所以在区间，方程的所有实根之和为考点：1函数的奇偶性；2分段函数与函数
7、的周期性；3函数与方程【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、分段函数与函数的周期性、函数与方程，难题；函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点4B【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程可表示为，由得，设，则，所以原点和线段中点的直线的斜率为，故选B考点：1双曲线的标准方程与几何性质；2直线的斜率【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、直线的斜率，中档题；双曲线的渐近线方程为（即在双曲线的标准方程中，将右边的改为即可），将直线代入
8、这个渐近线方程得到的一元二次方程的根即为两点的坐标，由根与系数关系可得到所求结果5B【解析】试题分析：由题意，得，抛物线的准线方程为，所以设，则由抛物线的定义，知，所以，即又，所以，所以，故选B考点：抛物线的定义及几何性质6B【解析】试题分析：依题意，即，由于这个是对钩函数，可排除A，C，D.也可以画出函数图象如下图所示，要有四个交点，则选B.考点：函数图象与性质.【思路点晴】先按题意，我们将其分类参数，也就是说，把含有的放一边，其它的方另外一边，得到，此时，可以利用基本不等式得到，由于这个是对钩函数，易排除A，C，D.当我们在研究两个函数有四个零点问题的时候，也可以先分离参数，将不含参数部分
9、的图象画出来，根据图象来求参数的取值范围.7A【解析】试题分析：画出图象如下图所示，依题意可知四边形为菱形，所以,设，则，且，解得,则.考点：1.双曲线；2.向量运算.【思路点晴】有关圆锥曲线的题目，由图双曲线的方程已经知道了，那么我们就先按题意将图形画出来，这是做圆锥曲线题目的时候第一步要做的.由于题目中，也就是平行四边形的对角线相互垂直，所以可以判断它为菱形，这样它的一组邻边就相等，设出点的坐标，然后解出点的坐标，题目就解决出来了.8C【解析】试题分析：画出函数的图象如下图所示，由图可知，函数过，经验证可知C正确.考点：三角函数.9C【解析】试题分析：因为，所以，则，则要使，则，可转化为：
10、存在使得成立设，则因为，则，从而，所以，即，选C考点：1.函数中的存在性问题；2.函数的最值【易错点晴】本题主要考查的是函数中的存在性问题，属于中档题本题首先利用已知条件确定，从而要使，则本题容易想到的方法是求函数的最小值，利用导数求解，使得问题更加复杂本题容易犯得错误是：存在性问题与恒成立问题分不清，对于求最大值还是最小值混淆10C【解析】试题分析：双曲线的渐近线方程为：，由题意可求得点代入渐近线得，故选C.考点：圆锥曲线的性质.11B【解析】试题分析：设，则当时，有，表示单位圆位于轴上方的部分; 由可得，表示过点，斜率为的直线.作出的图象，如下图所示.要使函数有两个不同的零点，则的图象与直
11、线总有两个交点.由图象可知，切线与函数图象有且只有两个交点，当切线绕点按逆时针方向旋转到的过程中与函数图象有三个交点，从已知旋转到与轴重合时，直线与函数图象总有两个交点.所以的取值范围是或，由直线与圆相切可知,由斜率公式可得，所以或，故选B. 考点：函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查了函数的零点问题，考查了转化的思想及数形结合的思想，属于中档题.解答本题时，首先把函数有两个不同的零点转化为函数与直线有两个不同的交点，通过作出函数的图象直线的意义找出满足条件的斜率的范围，作函数的图象时，要注意对方程进行等价变形，就是说在范围不变的情况下，把方程转化为我们熟悉的形式，来确定函数图象.12B【解
12、析】试题分析：由于，所以为等腰三角形，设，又可知，由双曲线的定义可知，所以，又因为，解得，在中，由勾股定理可得，所以双曲线的离心率为，故选B.考点：双曲线的简单几何性质.【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，考查了双曲线定义的应用，属于中档题.本题解答的关键是根据条件得到为等腰三角形，由于是双曲线上的点，所以考虑应用双曲线的定义，设，这样就可用分别表示出，由离心率的定义即可求得答案.13【解析】试题分析：设，则，由，所以，又焦点，所以直线的斜率为考点：抛物线的标准方程与几何性质【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质,中档题；在解抛物线有关的问题时，一定要注意定义的应用，即抛物
13、线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习143【解析】试题分析：由知，则由题意，得，可得，即，所以考点：椭圆的定义及几何性质15【解析】试题分析：根据条件，可得点的轨迹方程，求出双曲线的渐近线方程，运用圆心到直线的距离大于半径，得到，再由，得出离心率，又双曲线离心率，所以，所以答案应填：考点：双曲线的离心率【思路点晴】本题主要考查的是求轨迹方程和双曲线的简单几何性质，及圆与直线的位置关系，属于难题本题利用条件得出动点的轨迹方程为圆，要求圆与双曲线的渐近线无公共点，根据对称性不妨取渐近线
14、，即圆与无公共点，利用圆心到直线的距离与半径的关系，可求出，根据双曲线的离心率公式得出其范围16【解析】试题分析：本题考查分段函数的图象、分段函数的最值、导数的知识在求最值中的运用.检测建立目标函数的解析式，以及求目标函数最大值的思想和方法.检测转化与化归的数学思想和方法及运用所学知识去分析问题和解决问题的能力. 因为，所以可化为，因此，于是当时，单调递增；当时，单调递减；即当时，取最大值；当取最小值，所以的取值范围是.考点：分段函数、求导运算的法则、最值的求解及建立函数，模型的数学思想及分析问题解决问题的能力.17（）当时， 函数在上是减函数，在上是增函数， ，无最大值; 当时，函数在上是减
15、函数，在上是增函数，无最大值；（）见解析【解析】试题分析：（）求导可得 ,分与分别求与的解集，从而得到其单调区间及受益人最值；（）由（）,取可得，所以有，令，代入不等式并相加可证结论成立试题解析： （1）解：由题意当时，函数的定义域为，此时函数在上是减函数，在上是增函数，无最大值当时，函数的定义域为，此时函数在上是减函数，在上是增函数， ，无最大值（2）取，由知，故， 取，则考点：1导数与函数的单调性、最值；2函数与不等式18（1），不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化；（2）分布列见解析，；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小【解析】试题分
16、析：（1） 无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是可以解得，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，则可得；（2） 首先得出的所有可能取值，然后分别求出相应概率，从而列出分布列，算出均值；（3）由（2）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值试题解析：（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为，发现任务能完成的概率是一样.同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化. （2）由题意得可能
17、取值为，其分布列为:（3）, 要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小,则只能先派甲、乙中的一人.若先派甲,再派乙,最后派丙,则；若先派乙,再派甲,最后派丙, 则，先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小考点：1、相互独立事件的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望【警示点睛】求解相互独立事件时，要注意：（1）正确设出有关事件；（2）在应用相互独立事件的概率乘法公式时，要认真审题，注意关键词“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”的意义，正确地将其转化为互斥事件进行求解；（3）正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算19（1）；（2） 【
18、解析】试题分析：（1）首先求出导函数，然后利用利用导数的几何意义求得切线的斜率，从而利用点斜式求得切线方程；（2）首先设出切点，然后将问题转化为方程有三个不同的实数解，由此转化为函数有三个不同的零点，从而利用导数函数的零点，进而求得的取值范围试题解析：（1） . 曲线在点处的切线方程为:.（2）.，即.由题意, 上述关于方程有三个不同的实数解.记考点：1、导数的几何意义；2、函数零点20（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意知为等边三角形，从而得到的关系式，进而求得离心率；（2）首先根据椭圆的性质得到的关系式，然后设出直线的方程，并代入椭圆方程得到点坐标，从而求得，再根据三角形面积公式求
19、得的值，进而求得椭圆的方程；别解：设，然后利用椭圆的定义表示出的长，再利用余弦定理得到的关系式，从而根据三角形面积公式求得的值，进而求得椭圆的方程试题解析：（1）由题意可知，为等边三角形，所以. （2） （ 方法一），. 直线的方程可为将其代入椭圆方程，得所以由，解得，（方法二）设. 因为，所以由椭圆定义可知，再由余弦定理可得，由知，考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系21（1）当时，在单调递增，无极值点，当时，在和上单调递增，在上单调递减，极大值点为，极小值点为；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求导，得，当时，所以在单调递增，此时无极值点.
20、当时，在和上单调递增，在上单调递减.为极大值点，为极小值点；（2）当时，令，通过导数判断在上递减，在上递增，时，恒成立；（3）由（2）知，即，令，则，代入不等式即可证明.试题解析：（1），当时，在上恒成立，所以在单调递增，此时无极值点.当时，在上的变化情况如下表：1+-+递增极大值递减极小值递增由此表可知在和上单调递增，在上单调递减.为极大值点，为极小值点.（2）当时，令，当时，时，在上递减，在上递增，时，恒成立.即时，恒成立，当时，的图象恒在的图象上方.（3）由（2）知，即，令，则，不等式成立.考点：1.函数导数；2.分类讨论的数学思想；3.不等式证明.【方法点晴】有关导数极值、最值的分类讨
21、论问题，按步骤，先求导，通分，在画导函数图像的过程中，发现有参数无法确定，这个时候就要对参数进行分类讨论. 要证明“当时，的图象恒在的图象上方”，实际就是要证明恒成立，这样只需要利用导数即可证明.22（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，曲线在处的切线方程的斜率就是，写出点斜式方程即可；（2）因为，根据分类讨论，分类讨论时，恒成立，在上单调递增，所以，符合题意若 ，则当时，单调递减，分析定义域端点与的大小关系，若，则当，即时，则当时，符合题意. 当，即时，则当时，单调递增，不符合题意.试题解析：（1）当时，即曲线在处的切线的斜率，又所以所求的切线方程是（2）易知 若，则恒成
22、立，在上单调递增； 若 ，则当时，单调递减，当时，单调递增.又，所以若，则当时，符合题意.若，则当，即时，则当时，符合题意.当，即时，则当时，单调递增，不符合题意.综上，实数的取值范围是考点：1、导数的几何意义；2、利用导数求函数单调区间、最值；3分类讨论【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、分类讨论的思想和方法，属于难题利用导数求函数的最值的步骤：确定函数的定义域；对求导；求方程的所有实数根；列表格本题可以通过分类讨论，知函数在所求区间上增或者减，或者先增后减，从而求出最大值23（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）利用是中位线，从而，又，所
23、以四边形为平行四边形，故，从而证平面；（2）转换三棱锥顶点可得：，易知是棱锥的高，从而求其体积试题解析：（1）如图,取PB的中点N,连接MN,CN.在PAB中,M是PA的中点,MNAB,MN=AB=3,又CDAB,CD=3,MNCD,MN=CD,四边形MNCD为平行四边形,DMCN.又DM平面PBC,CN平面PBC,DM平面PBC.（2）=SDBCPD,又SDBC=6,PD=,所以=.考点：1、线面平行；2、三棱锥体积【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、三棱锥的体积及空间想象力，属于中档题解题时一定要注意中点这个条件的暗示作用，一般要利用中位线得到直线平行，如果中位线不行，考虑构造平行四边形，利用平行四边形得线线平行，从而得线面平行，也可考虑面面平行得线面平行在求三棱锥体积时，如果高不易寻找，可考虑变换三棱锥顶点，从而易于求高24（1）；（2）【解析】试题分析：（1）直接代入解析式即可；（2）由两角差的余弦公式，及正余弦二倍角公式和辅助角公式得，转化为，利用余弦函数图象得，从而求解试题解析：（1）.（2）f（x）cos xcos x.f（x）等价于，即.于是2k2x2k，kZ. 解得kxk，kZ.故使f（x）成立的x的取值集合为.考点：1、二倍角公式；2、辅助角公式；3、余弦函数图象与性质版权所有：高考资源网()
