1、2016届高三教学质量调研考试理科数学一、选择题：1.已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】考查复数的相关知识。，实部、虚部均小于0，所以在复平面内对应的点位于第三象限。2. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】考查集合的运算。，考查交集的定义，画出数轴可以看出。3. 某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400,320,280.采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（ ）A.20 B.16 C.15 D.14【答案】D
2、【解析】考查分层抽样。高三年级的人数是（人）。4. 已知命题：，使；命题：，则下列判断正确的是（ ）A. 为真 B.为假 C.为真 D.为假【答案】B【解析】考查命题的真假判断。由于三角函数的有界性，所以假；对于，构造函数，求导得，又，所以，为单调递增函数，有恒成立，即，所以真。判断可知，B正确。5. 已知满足约束条件则的最小值是（ ）A. -7 B.-3 C.1 D.4【答案】A【解析】方法一：画出可行域，找截距的最小值，数形结合求解；方法二：找出三条直线的交点，分别带入目标函数，得到最小值-7，答案选A。（这种做法仅适用于线性约束条件，线性目标函数）6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几
3、何体的体积是（ ）A B 40 C D 【答案】C【解析】 由三视图知，直观图如图所示：底面是直角三角形，直角边长为4，5，三棱锥的一个后侧面垂直底面，并且高为4，所以棱锥的体积为：7.函数的部分图像如图所示，则的值为A B C D 【答案】A【解析】由题意可知T=, ，代入求值即可得到 =8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术。利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率。如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为（参考数据：=1.732，）A 12 B 24 C 36
4、 D48【答案】B【解析】n=6，s=2.598 n=12，s=3 n=24，s=3.1056结束循环 输出n=249.在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴y轴上一点，且,若P(1，),则的取值范围是 A B C D 【答案】D【解析】设A(，0)，B(0,)，则=(3-,3-),=(3-)+(3-)=37-6(+)=37-12即可求范围10.设函数是（）的导函数，且，则的解集是A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据，导函数于原函数之间没有用变量x联系，可知函数与有关，可构造函数为，即，解得，故选D二、填空题：11.二项式展开式中的常数项为 .【答案】20【解析】中的通项为，若为
5、常数项，则，.12.已知向量，则向量的夹角为 .【答案】【解析】因为，故即，则故夹角为.13.已知等比数列为递增数列，其前项和为，则公比 .【答案】2【解析】，把带入得，因为等比数列为递增数列，故.14.过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率的最大值是 .【答案】3【解析】双曲线的一条斜率为正值的渐近线为，则过的直线为，因为双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，所以只要满足即可，又因为，代入整理得，所以双曲线的离心率.故双曲线的离心率的最大值是.15.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 。【答案】【解析】图象
6、如图所示。的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。三、解答题：16.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.（I）求角C的值；（II）若，且ABC的面积为，求a,b.【答案】（I）（II）【解析】（I），故，则，展开得：，即，（II）三角形面积为，故由余弦定理：，故17. 如图在四棱锥P-ABCD中,PA面ABCD,ABC=90，,E是线段PC的中点.（I）求证：DE/面PAB；(II)求二面角D-CP-B的余弦值.【答案】见解析【解析】（I）证明：设线段AC的中点为
7、O，连接OD,OE.因为ABC=90，同理，又,故四边形ABOD是平行四边形，所以DO/AB，O,E分别是PC,AC的中点，所以OE/PA，OD与OE相交，AP和AB相交，OE在面ODE中，PA,AB在面PAB中，面ODE/面PAB，而ED在面ODE中，故DE/面PAB.(II).因为ABBC,PA面ABCD,以B为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，过点B做平行于的直线做z轴正方向建立空间直角坐标系.则设面PBC的法向量为则，设面DPC的法向量为则，二面角D-CP-B的余弦值为.18.2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为
8、庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一贯没有闯关成功，则全部学都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功互不影响（I）求选手甲第一关闯关成功且所的学豆为零的概率(II)设该学生所的学豆总数为X,求X的分布列与数学期望【答案】（I）3/16;(II)的分布列为： 【解析】（）设甲“第一关闯关成功且所得学
9、豆为零”为事件，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥， 2分， 4分 5分（）所有可能的取值为0,5,15,35 6分 10分所以，的分布列为： 11分 12分19 已知数列是公差不为零的等差数列，且=5，成等比数列。数列的每一项均为正实数，其前n项和为，且满足（I）数列，的通项公式（II）令，记数列的前n项和为,若对任意恒成立，求正整数m的最大值。【答案】（I） . （II）正整数的最大值为6.【解析】（I）设数列的首项为，公差为，由已知可得：，且解得：或（舍） 2分当时， ， 3分当时，-得， 4分，是首项为3，公差为2的等差数列.故.
10、6分（II） 7分 9分，令，则当时，为递增数列， 10分又对恒成立，故，解得， 11分所以正整数的最大值为6. 12分20. 已知函数，.（I）当时，求函数的最大值；（II）若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（I）0；（II）【解析】（I）函数的定义域为：，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，.（II）令，因为“对任意的恒成立”等价于“当时，对任意的成立”，由于，当时，有，从而函数在上单调递增，所以.，当时，时，显然不满足，当时，令得，（i）当，即时，在上，所以在单调递增，所以，只需使，得，所以.(ii)当，即时，在单调递增，在单调递减，所以，只需使，得，所以.(iii)
11、当，即时，显然在上单调递增，不成立，综上所述，的取值范围是.21. 设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；（）过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.(i)证明:为定值；(ii)连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.【答案】（）椭圆的方程为，“相关圆”的方程为 （）（i） 为定值 （ii） 【解析】（）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以 1分又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以故椭圆的方程为， 3分“相关圆”的方程为 4分（）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，则所以 5分当直线的斜率存在时，设其方程设为，设联立方程组得,即, 6分=,即 7分因为直线与相关圆相切，所以 8分 为定值 9分（ii）由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围当直线AB的斜率不存在时，由（i）知 10分 因为 11分, 时为所以,所以,所以当且仅当时取”=” 12分当时,|AB |的取值范围为 13分面积的取值范围是 14分
