1、专题研究 排列组合的综合应用例 1 平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3点共线用这 9 个点可以确定多少条直线？用这 9 个点可以确定多少个三角形？用这 9 个点可以确定多少个四边形？【解析】确定一条直线需要两个点，因为有 4 个点共线，所以这 9 个点所确定直线的条数为 C29C24131.确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这 9 个点确定三角形的个数为 C39C3480.确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这 9 个点确定四边形的个数为 C49C15C34C44105.思考题 1(1)平面内有 n 条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这 n 条直线的交点的
2、个数为()An(n1)B(n1)(n2)C.nn12D.n1n22【解析】这 n 条直线交点的个数为 C2nnn12.【答案】C(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，则不同的取法共有多少种？【解析】方法一 从 10 个点中，任意取 4 个点的不同取法共有 C410种，其中，所取 4 个点共面的可分为两类第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有 4C46种取法第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：4 个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有 1 个点是某棱的中点，另 3 点在对棱上，因为共有 6 条棱，所以有6 种取法；4 个点所在的不共面的棱
3、不止两条，这时，4 个点必然都是棱的中点，它们所在的 4 条棱必然是空间四边形的四条边，故有 3 种不同取法所以符合题意的不同取法种数为 C410(4C4663)141.方法二 在四面体中取定一个面，记为，那么取不共面的 4 个点，可分为四类第一类，恰有 3 个点在 上这时，该 3 点必然不在同一条棱上，因此，4 个点的不同取法数为 4(C363)68.第二类，恰有 2 个点在 上，可分两种情形：该 2点在同一条棱上，这时 4 个点的不同取法数为 3C23(C243)27；该 2 点不在同一条棱上，这时 4 个点的不同取法数为(C263C23)(C241)30.第三类，恰有 1 个点在 上，可
4、分两种情形：该点是棱的中点，这时 4 个点的不同取法数为 339；该点不是棱的中点，这时 4 个点的不同取法数为 326.第四类，4 个点都不在 上，只有 1 种取法应用分类计数原理，得所求的不同取法数为 682730961141.【答案】141例 2 按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；(6)甲、乙、丙三人
5、中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本【思路】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏【解析】(1)无序不均匀分组问题，先选 1 本有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法；最后余下 3 本全选有 C33种方法，故共有 C16C25C3360 种(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C16C25C33A33360 种(3)无序均匀分组问题先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复不
6、妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共 A33种情况，而这 A33种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A3315 种(4)有序均匀分组问题，在第(3)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C26C24C22A33A33C26C24C2290 种(5)有序部分均匀分组问题，共有C46C12C11A22
7、15 种(6)有序部分均匀分组问题在第(5)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C46C12C11A22A3390 种(7)直接分配问题甲选 1 本有 C16种方法，乙从余下 5 本中选 1 本有 C15种方法，余下 4 本留给丙有 C44种方法，共有 C16C15C4430 种【讲评】均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数思考题 2 6 名运动员分到 4 所学校去做教练，每校至少1 人，有多少种不同
8、的分配方法？【解析】人员分配有两类：1,1,1,3 或 1,1,2,2.先取人，后取位子1,1,1,3：6 人中先取 3 人有 C36种取法，与剩余 3 人分到 4所学校去有 A44种不同分法，共 C36A44种分法；1,1,2,2：6 人中取 2 人、2 人、1 人、1 人的取法有C26C24C12A22A22 种，然后分到 4 所学校去，有 A44种不同的分法，共C26C24C12A22A22 A44种分法所以符合条件的分配方法有 C36A44C26C24C12A22A22 A441 560 种例 3(1)(2012重庆)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三
9、门艺术课各 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为_(用数字作答)【解析】PA33A44A33A12A13A33A33A23A22A6635.【答案】35(2)“2 012”含有数字 0,1,2，且有两个数字 2，则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为()A18B24C27D36【解析】依题意，含有数字 0,1,2，且有两个相同数字的四位数，含有如下三种情形：两个 0，或两个 1，或两个 2.含两个 0 的情形有 2 001,1 002,1 200,2 100,1 020,2 010 共六个；含两个 1 的情形有A44A22A33A229 个，含有
10、两个 2 的情形如同含两个 1，则有两个相同数字的四位数的个数为 92624.故选 B.【答案】B思考题 3 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行，如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，那么不同的排法共有_种(用数字作答)【解析】取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，共有三种情况：1,1,4,4；2,2,3,3；1,2,3,4.所取卡片是 1,1,4,4 的共有 A44种排法，所取卡片是 2,2,3,3 的共有 A44种排法，所取卡片是 1,2,3,4，则其中卡片颜色可为无
11、红色，1 张红色，2 张红色，3 张红色，全是红色，共有排法 A44C14A44C24A44C34A44A4416A44种，共有排法 18A44184321432 种【答案】4321将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有_种答案 222解析 总数是 C223253，若有两个学校名额相同，则可能是 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11 个名额，此时有 10C2330 种可能，若三个学校名额相同，即都是 8 个名额，则只有 1 种情况，故不同的分配方法数是 253301222.210 个优秀指标名额分配给 6 个班级，每个班至少一个，共
12、有多少种不同的分配方法？解析 由于是 10 个名额，故名额和名额之间是没有区别的，我们不妨把这 10 个名额在桌面上从左到右一字摆开，这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空挡，10 个名额之间就出现了 9 个空挡，我们的目的是把这 10 个名额分成 6 份，每份至少一个，那我们只要把这 9 个空挡中的 5 个空挡上各放上一个隔板，两端的隔板外面的 2 部分，隔板和隔板之间的 4 部分，这样就把这 10 个指标从左到右分成了 6 份，且满足每份至少一个名额，我们把从左到右的 6 份依次给 1,2,3,4,5,6 班就解决问题这里的在 9 个空挡上放 5 个隔板的不同方法数，就对应了符合条件的名额分配方法数这个数不难计算，那就是从 9 个空挡中选出 5 个空挡放隔板，不同的放法种数是 C59126.3从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的北京奥运冠军中选出 10 名作“夺冠之路”的励志报告若每个大项中至少选派两人，则名额分配有几种情况？解析 名额分配只与人数有关，与不同的人无关每大项中选派两人，则还剩余两个名额，当剩余两人出自同一大项时，名额分配情况有 C144 种，当剩余两人出自不同大项时，名额分配情况有 C246 种有 C14C2410 种课时作业（七十四）
