1、第22讲 函数与方程思想和数形结合思想 第23讲 分类与整合思想和化归与转化思想 专题七 数学思想方法 专题七 数学思想方法 知识网络构建专题七 知识网络构建 考情分析预测专题七 考情分析预测 考向预测对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，高考命题是通过数学知识的考查，来反映对数学思想方法的理解和掌握程度四种数学思想方法是每年高考的必考内容，是高考考查的重点，各种题型都有，难度中等偏上(1)与函数和方程思想有关的常见题型有：与不等式、方程有关的最值问题；建立目标函数，求最值或最优解问题；在含有多个变量的问题中，选择合适的自变量构造函数解
2、题；实际应用问题，建立函数关系，利用函数性质、导数、不等式性质等知识解答；利用函数思想解决数列中的问题(2)与数形结合思想有关的常见题型：集合间关系利用韦恩图求解；以数学公式、数学概念的几何意义、函数图象为载体的综合题，如截距、斜率、距离、导数的几何意义，借助图象求解专题七 考情分析预测 (3)与分类与整合思想有关的常见题型：含有参数的函数性质问题、交点问题；对由数学概念引起的分类讨论问题，如对指数函数、对数函数的底数的讨论，对一元二次不等式的二次项系数的讨论；由公式定理引起的讨论问题，如绝对值、等比数列前n项和的计算问题(4)与转化与化归思想有关的常见题型：未知转化为已知(复杂转化为简单)；
3、函数与方程的相互转化；正与反、一般与特殊的转化，即正难则反、特殊化原则；空间与平面的相互转化；常量与变量的转化；数与形的转化；相等与不等的相互转化；实际问题与数学模型的转化专题七 考情分析预测 二轮复习时，要有效地掌握以下几个方面：数学思想与方法是通过数学知识体现的，在复习中，要养成利用数学思想分析问题、思考问题、解答问题的习惯意识(1)对于函数与方程思想，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是应用函数与方程思想解题的关键(2)数形结合的实质是把抽象的数学语言和直观的图象语言结合起来，即将代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合思想分析问题时
4、，要注意三点：理解一些概念与运算法则的几何意义以及曲线的代数特征，对题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数意义；恰当设参、合理用参，建立关系，由形思数，以数想形，做好数形转化；确定参数的取值范围，参数的范围决定图形的范围(3)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化型，图形变动型(4)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在比如：解不等式时，将分式不等式转化为整式不等式；处理立体几何问题时，将空间的问题转
5、化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题；复数问题化归为实数问题等备考策略第22讲 函数与方程思想和数形结合思想 第22讲 函数与方程思想和 数形结合思想 主干知识整合第22讲 主干知识整合 1函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方
6、程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系第22讲 主干知识整合 2数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有
7、图，见数想图，以开拓自己的思维视野要点热点探究第22讲 要点热点探究 探究点一 列方程（组）解题 例 1(1)公差不为零的等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 a4是 a3 与 a7 的等比中项，S832，则 S10 等于()A18B24C60D90(2)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.【分析】(1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于 p 的方程第22讲 要点热点探究(1)C(2)2【解析】(1)由 a24a3a7 得(a13d)2(a12d)(a16d)，
8、得 2a13d0，再由 S88a1562 d32 得 2a17d8，则 d2，a13，所以 S1010a1902 d60.故选 C.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知过焦点的直线方程为 yxp2，联立有y22px，yxp2，消元后得 x23pxp24 0.又|AB|x1x2p8，解得 p2.第22讲 要点热点探究 例 2(1)已知an是一个等差数列，且 a21，a55，则数列an前 n 项和 Sn 的最大值是_(2)长度都为 2 的向量OA，OB 的夹角为 60，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB(劣弧)上，OC mOA nOB，则 mn 的最大值是_ 探究点二 使用函
9、数方法解决非函数问题【分析】(1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立Sn 关于 n 的函数；(2)将向量坐标化，建立 mn 关于动向量OC的函数关系第22讲 要点热点探究(1)4(2)2 33 【解析】(1)设an的公差为 d，由已知条件，a1d1，a14d5，解出 a13，d2.Snna1nn12dn24n4(n2)2.所以 n2 时，Sn 取到最大值 4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA(2,0)，向量OB(1，3)设向量OC(2cos，2sin)，03.由OC mOA nOB，得(2cos，2sin)(2mn，3n)，即 2cos2mn,2sin 3n，解得 mcos 13sin
10、，n 23sin.故 mncos 13sin2 33 sin3 2 33.第22讲 要点热点探究 若 a1，则双曲线x2a2y2a121 的离心率 e 的取值范围是()A(1，2)B(2，5)C 2，5 D(3，5)第22讲 要点热点探究 B【解析】e2ca2a2a12a2111a2，因为1a是减函数，所以当 a1 时，01a1，所以 2e25，即 2e0，问是否存在 x01，a3，使得 f(x0)g(x0)？若存在，请求出实数 a 的取值范围，若不存在，请说明理由；(2)记函数 H(x)f(x)1g(x)1，若函数 yH(x)有 5 个不同的零点，求实数 a 的取值范围 探究点三 联用函数与
11、方程的思想第22讲 要点热点探究 【解答】(1)假设存在，即存在 x01，a3，使得，f(x0)g(x0)x0(x0a)2x20(a1)x0ax0(x0a)2(x0a)(x01)(x0a)x20(1a)x010，当 x01，a3 时，又 a0，故 x0a0，则存在 x01，a3，使得 x20(1a)x01a3即 a3 时，a32(1a)a3 13 或 a3；当1a12 a3即 0a3 时，4a1240 得 a3，a 无解综上：a3.第22讲 要点热点探究 (2)据题意有 f(x)10 有 3 个不同的实根，g(x)10 有 2 个不同的实根，且这 5 个实根两两不相等(i)g(x)10 有 2
12、 个不同的实根，只需满足 ga121a1 或 aa 即 a0 时，f(x)在 xa 处取得极大值，而 f(a)0，不符合题意，舍；当a3a 即 a0 时，不符合题意，舍；当a30 时，f(x)在 xa3处取得极大值，fa3 1a33 22；所以 a33 22；因为(i)(ii)要同时满足，故 a33 22.(注：a 33 4也对)第22讲 要点热点探究 下证：这 5 个实根两两不相等，即证：不存在 x0 使得 f(x0)10 和 g(x0)10 同时成立；若存在 x0 使得 f(x0)g(x0)1，由 f(x0)g(x0)，即 x0(x0a)2x20(a1)x0a，得(x0a)(x20ax0
13、x01)0，当 x0a 时，f(x0)g(x0)0，不符合，舍去；当 x0a 时，即有 x20ax0 x010；又由 g(x0)1，即x20(a1)x0a1；联立式，可得 a0；而当 a0 时，H(x)f(x)1g(x)1(x31)(x2x1)0 没有5 个不同的零点，故舍去，所以这 5 个实根两两不相等综上，当 a33 22 时，函数 yH(x)有 5 个不同的零点第22讲 要点热点探究 函数 f(x)(2x1)2，g(x)ax2(a0)，满足 f(x)g(x)的整数 x 恰有 4 个，则实数 a 的取值范围是_ 第22讲 要点热点探究 4916，8125 【解析】在同一坐标系内分别作出满足
14、条件的函数 f(x)(2x1)2，g(x)ax2 的图象，则由两个函数的图象可知，yf(x)，yg(x)的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h(x)f(x)g(x)(4a)x24x1，要使满足不等式(2x1)2ax2的解集中的整数解恰有 4 个，则需h40，h504916a0，8125a04916a8125.第22讲 要点热点探究 例 4(1)不等式|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为()A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)(2)已知点 P 在抛物线 y24x 上，那么点 P 到点 Q(2，1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小
15、值时，点 P 的坐标为()A14，1B14，1C(1,2)D(1，2)探究点四 以形助数探索解题思路第22讲 要点热点探究【分析】(1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离 第22讲 要点热点探究(1)A (2)A 【解 析】(1)f(x)|x 3|x 1|4x3，2x23x1.画出函数 f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为 4，故只要 a23a4 即可，解得 a1 或 a4.正确选项为 A.第22
16、讲 要点热点探究(2)点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离，如图，PFPQPSPQ，故最小值在 S，P，Q 三点共线时取得，此时P，Q 的纵坐标都是1，代入 y24x 得 x14，故点 P 坐标为14，1，正确选项为 A.第22讲 要点热点探究【点评】本题的知识背景涉及函数、不等式、抛物线等，求解的目标也各不相同，但是一个共同的点是“题目中的某些部分都可以使用图形”表示，在解题时我们就是把这些可以用图形表示的部分用图形表示出来，借助于图形的直观获得了解决问题的方法，这就是以形助数，是数形结合中的一个主要方面 第22讲 要点热点探究 例 5(1)下列四个函数图象，只有一个是符合
17、y|k1xb1|k2xb2|k3xb3|(其中 k1，k2，k3 为正实数，b1，b2，b3 为非零实数)的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3 之间一定成立的关系是()图 221Ak1k2k3 Bk1k2k3Ck1k2k3Dk1k21)的定义域和值域均为m，n，则 a的取值范围是_【答案】(1)1(2)1，e1e【解析】(1)构造函数 f(t)t3sint2a，则 f(t)3t2cost，当 t2，2 时，f(t)0，当 t2，2 时，3t21，cost1，此时 f(t)0，故函数 f(t)是 R 上的增函数根据题意 f(x)f(2y)，故 x2y，所以 cos(x2y)1.第22讲
18、 教师备用例题(2)根据题意 m，n(m0 得 xlogalogae，由 g(x)0 得xlogalogae，故 xlogalogae 是函数 g(x)在 R 上唯一的极小值点，也是最小值点，且当 x 无限小时，函数值无限大，当x 值无限大时，函数值也无限大，故只要函数 g(x)最小值小于零，即 可 使 函 数 g(x)ax x 有 两 个 不 同 的 零 点 由g(logalogae)0 得 alogalogaelogalogae，此即 logaelogalogae，即 elogae，即 lna1elne1e，故 a0)，当 x(0,1)时，(x)0，(x)是增函数；当 x(1,3)时，(x)0，(x)是增函数；当 x1，或 x3 时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln315.当 x 充分接近 0 时，(x)0.要使(x)的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需x极大值m70，x极小值m6ln3150，即 7m156ln3.所以存在实数 m，使得函数 yf(x)与 yg(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln3).
