1、能力课时6 天体运动中的“四大难点”突破一 近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题 近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的参量比较 近地卫星(r1、1、v1、a1)同步卫星(r2、2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2r3r1角速度由GMmr2m2r 得 GMr3，故 12同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故 2 3123线速度由GMmr2mv2r 得 vGMr，故 v1v2由 vr 得 v2v3v1v2v3向心加速度由GMmr2ma 得 aGMr2，故 a1a2由 a2r 得 a2a3a
2、1a2a3【例1】(多选)如图1所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是()图1 A.vBvAvCB.ABC C.FAFBFCD.TATCTB解析 A 为地球同步卫星，故AC，根据 vr 可知，vAvC，再根据 GMmr2 mv2r 得到 vGMr，可见 vBvA，所以三者的线速度关系为 vBvAvC，故选项 A 正确；由 2T 可知 TATC，再由 GMmr2 m(2T)2r 可知 TATB，因此它们的周期关系为 TATCTB，它
3、们的角速度关系为 BAC，所以选项 D正确，B 错误；由 FGMmr2 可知 FAFBFC，所以选项 C 错误。答案 AD【变式训练】1.(2016江西鹰潭模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所示，则下列关于卫星的说法中正确的是()图2 A.a 的向心加速度等于重力加速度 gB.c 在 4 h 内转过的圆心角为6C.b 在相同的时间内转过的弧长最长D.d 的运动周期可能是 23 h解析 在地球赤道表面随地球自转的
4、卫星，其所受万有引力提供重力和其做圆周运动的向心力，a 的向心加速度小于重力加速度 g，选项 A 错误；由于 c 为同步卫星，所以 c 的周期为 24 h，因此 4 h内转过的圆心角为 3，选项 B 错误；由四颗卫星的运行情况可知，b 运动的线速度是最大的，所以其在相同的时间内转过的弧长最长，选项 C 正确；d 运行的周期比 c 要长，所以其周期应大于 24 h，选项 D 错误。答案 C 突破二 卫星的变轨问题 1.变轨原理及过程 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图3所示。图3(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道上。(2)在A点点火加速，由于速度变大
5、，进入椭圆轨道。(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道。2.卫星变轨的实质(1)当卫星的速度突然增加时，GMmr2 mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 vGMr 可知其运行速率比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。【例2】(多选)在完成各项既定任务后，“神舟九号”飞船于2012年6月29日10时许返回地面，主着陆场位于内蒙古四子王旗地区。如图4所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道进入椭圆轨道，Q为轨道上的一点，M为轨道上的另一点，关于“神舟九号”的运动，下列说法中正确的有()图4 A
6、.飞船在轨道上经过P的速度小于经过Q的速度 B.飞船在轨道上经过P的速度小于在轨道上经过M的速度 C.飞船在轨道上运动的周期大于在轨道上运动的周期 D.飞船在轨道上经过P的加速度小于在轨道上经过M的加速度 解析 飞船在轨道上由Q点向P点运行时需要克服万有引力做功，所以经过P点时的动能小于经过Q点时的动能，可知选项A正确；飞船在轨道上做匀速圆周运动，故飞船经过P、M两点时的速率相等，由于飞船在P点进入轨道时相对于轨道做向心运动，可知飞船在轨道上P点速度小于轨道上P点速度，故选项B正确；根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期，选项C错误；根据牛顿第二定律可知，飞船在轨
7、道上经过P的加速度与在轨道上经过M的加速度大小相等，选项D错误。答案 AB 反思总结 1.变轨的两种情况 2.相关物理量的比较 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vvB，vAv。(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)，图中vAvB，EkAEkB，EpAEpB。(3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vv。3.卫星的对接 航天飞机与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。【变式训练】2.(多选)“神舟十号”飞船于北京时间20
8、13年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接。这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接。交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接。如图5所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是()图5 A.“神舟十号”必须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇 B.“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2 C
9、.“神舟十号”在M点变轨后的速度大于变轨前的速度 D.“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期 解析 飞船经一次加速后由圆轨道 1 变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道 2 相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在 M 点加速，才能在 P点与“天宫一号”相遇，A 错误；飞船在 M 点经一次加速后由圆轨道 1 变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道 2，B 错误；飞船在 M 点加速后由圆轨道 1 变轨到椭圆轨道，则在 M 点变轨后的速度大于变轨前的速度，C 正确；由 T2r3GM可知轨道半径增大，周期增大，D 项正确。答案 C
10、D 突破三 天体运动中的能量问题 1.卫星变轨问题的分析，一般包括运动状态与能量的变化，即线速度、角速度、周期以及动能、势能与机械能的变化，通常可以利用万有引力做功，确定动能和势能的变化。若只有万有引力做功，则机械能守恒。2.卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足 GMmr2 mv2r，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨
11、道上的运行速率，但机械能减小。【例 3】(多选)(2015广东理综，20)在星球表面发射探测器，当发射速度为 v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星球的质量比约为 101，半径比约为 21，下列说法正确的有()A.探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D.探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大解析 由牛顿第二定律得 GMmR2 mv2R，解得 vGMR，所以2v 2GMR 2GMR，所以探测器脱离星球的发射速度与探测器的质
12、量无关，A 错误；因为地球与火星的MR不同，所以探测器脱离两星球所需的发射速度不相等，C 错误；探测器在地球表面受到的引力 F1GM地mR2地，在火星表面受到的引力为 F2GM火mR2火，F1F2M地R2火M火R2地52，B 正确；探测器脱离星球的过程中，引力做负功，引力势能逐渐增大，D 正确。答案 BD【变式训练】3.2013 年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图 6，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到 h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为 m
13、，月球半径为 R，月面的重力加速度为 g 月，以月面为零势能面。“玉兔”在 h 高度的引力势能可表示为 EpGMmhR（Rh），其中 G 为引力常量，M 为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为()图6 A.mg月RRh(h2R)B.mg月RRh(h 2R)C.mg月RRh(h 22 R)D.mg月RRh(h12R)解析 设玉兔在高度 h 时的速度为 v，则由万有引力定律得，GMm（Rh）2mv2（Rh）可知，玉兔在该轨道上的动能为 Ek12GMm（Rh），由功能关系可知对玉兔做的功为 WEpEkGMmhR（Rh）12GMm（Rh），结合在月球表面：GMmR2
14、mg 月，整理可知 Wmg月RRh(h12R)，故选项 D 正确。答案 D 突破四 卫星的追及相遇问题 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。【例4】(多选)(2014新课标全国卷，19)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”
15、。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。则下列判断正确的是()地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径(AU)1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B.在2015年内一定会出现木星冲日 C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 解析 设地球的运转周期为 T0、角速度为 0、轨道半径为 r0，则其他行星的轨道半径为 rkr0根据万有引力定律及
16、牛顿第二定律得：GMmr20m20r0GMmr2m2r联立得：1k3 0。各行星要再次冲日需满足：0tt2，即 t k kk k1T0，其中 k1.5、5.2、9.5、19、30。根据上式结合 k 值并由数学知识可知：行星冲日的时间间隔一定大于 1 年，并且 k 值越大时间间隔越短，所以选项 B、D 正确，A、C 错误。答案 BD 反思提升对于天体追及问题的处理思路(1)根据GMmr2mr2，可判断出谁的角速度大；(2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于 2 的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于 的奇数倍。在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行
17、判断。【变式训练】4.设地球的自转角速度为0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r5R，飞行方向与地球的自转方向相同，在某时刻，该人造卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需要的时间为()A.2gR2r3 0B.2gR2r3 0C.2r3gR2D.2gR2r3 0解析 因为同步卫星的轨道半径大约为地球半径的 6 倍，根据卫星的特点知，越向外的卫星运行角速度越小，而同步卫星与地球自转的角速度相同，因此人造卫星运行的角速度比地球上建筑物的运行角速度快，因此再次出现在建筑物上方时，说明卫星已经比建筑物多走了一圈，故 卫
18、 地2，卫1t，地0t，由于卫星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力GMmr2m21r，在地球表面，物体受到的万有引力等于重力GMmR2 mg，联立得 t2gR2r3 0，D 项正确。答案 D 1.如图 7 所示，a 是地球赤道上的一点，t0 时刻在 a 的正上空有 b、c、d 三颗轨道均位于赤道平面的地球卫星，这些卫星绕地球做匀速圆周运动的运行方向均与地球自转方向(顺时针方向)相同，其中 c 是地球同步卫星。设卫星 b 绕地球运行的周期为 T，则在 t14T 时刻这些卫星相对 a 的位置最接近实际的是()图7 解析 a 是地球赤道上的一点，c 是地球同步卫星，则 c 始终在a 的正上方；由
19、 GMmr2 m42T2 r，得 T42r3GM，故 r 越大，T越大，则 b 比 d 超前。答案 C 2.(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A.卫星的动能逐渐减小 B.由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C.由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析 卫星半径减小时，分析各力做功情况可判断卫星能量的变化。卫星运转过程中，地球的引力提供向心力，GMmr2 mv2r，受稀薄气体
20、阻力的作用时，轨道半径逐渐变小，地球的引力对卫星做正功，势能逐渐减小，动能逐渐变大，由于气体阻力做负功，卫星的机械能减小，选项 B、D 正确。答案 BD 3.某卫星在半径为r的轨道1上做圆周运动，动能为Ek，变轨到轨道2上后，动能比在轨道1上减小了E，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为()A.EkEkErB.EkErC.EEkErD.EkEEr解析 卫星在轨道 1 上时，GMmr2 mv2r 2Ekr，因此 EkGMm2r，同样，在轨道 2 上，EkEGMm2r2，因此 r2EkEkEr，A 项正确。答案 A 4.(多选)如图8所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道，然后
21、在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道，则()图8 A.该卫星在P点的速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s B.卫星在同步轨道上的运行速度大于7.9 km/s C.在轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 D.卫星在Q点通过加速实现由轨道进入轨道 解析 卫星在P点做圆周运动的速度为7.9 km/s，卫星在P点的速度大于7.9 km/s会做离心运动，运动轨迹为椭圆，但必须小于11.2 km/s，否则就会脱离地球束缚，故A正确；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是7.9 km/s，故B错误；P点比Q点离地球近些，故在轨道上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，C正确；
22、卫星在Q点通过加速实现由轨道进入轨道，故D正确。答案 ACD 5.设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)。在某些特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面。天文学称这种现象为“金星凌日”。如图9所示，2012年6月6日天空上演的“金星凌日”吸引了全世界数百万天文爱好者。假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为()图9 A.t01t0RB.R3（t01t0）2C.R3（1t0t0）2D.R（t01t0）3解析 由开普勒第三定律知R3T2k，设金星的轨道半径为 Rx，周期为 Tx，角速度为 x，则由R3xT2xR3T20得 RxR3（TxT0）2。根据题设，应有x0，(x0)t02，即(2Tx2T0)t02，解得 TxT0t0T0t0，其中 T01 年，联立解得 RxR3（t01t0）2，选项B 正确。答案 B
