1、第20讲 离散型随机变量及其分布列 第20讲 离散型随机变量 及其分布列 主干知识整合第20讲 主干知识整合 1离散型随机变量的分布列它具有两条基本性质：(1)pi0(i1,2，n)；(2)p1p2pn1，即总概率为 1；(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个值的概率之和2超几何分布列3条件概率和独立事件、二项分布(1)条件概率；(2)事件的独立性；(3)独立重复实验和二项分布：此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率第20讲 主干知识整合 4离散型随机变量的均值和方差(1)均值：性质 E(Y)E(aXb)aE(X)b.若 X 服从
2、两点分布，则 E(X)p.若 X 服从二项分布，即 XB(n，p)，则 E(X)np.(2)方差：性质 D(aXb)a2D(X)若 X 服从两点分布，则 D(X)p(1p)若 XB(n，p)，则 D(X)np(1p)5正态分布(1)概念；(2)正态曲线的六个特点要点热点探究第20讲 要点热点探究 探究点一 相互独立事件与独立重复试验例 1 一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 A a1a2a3a4a5，其中 A 的各位数字中，a11，ak(k2,3,4,5)出现 0 的概率为13，ak(k2,3,4,5)出现1 的概率为23，记 Xa1a2a3a4a5(例如：A10001，其中
3、 a1a51，a2a3a40，且 X2)当启动仪器一次时，(1)求 X3 的概率；(2)求当 X 为何值时，其概率最大【分析】(1)X3 的含义是在 a2，a3，a4，a5中出现 2 个 0,2 个 1，由于各个数字 1 出现的概率相同，故是四次独立重复试验恰好成功两次的概率；(2)可以具体计算 X 取各个值的概率，然后进行比较第20讲 要点热点探究【解答】(1)由题意得：P(X3)C24132232 827.(2)P(X1)C04134 181，P(X2)C14231133 881，P(X3)2481，P(X4)C3413 2333281，P(X5)C442341681，X4 的概率最大，最
4、大值为3281.第20讲 主干知识整合 【点评】如果 xB(n，p)，其中 0p12，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求 p 的值；(2)设 X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 X 的分布列和数学期望E(X)【分析】(1)已知说明甲连续胜两局或者乙连续胜两局，根据已知的概率列方程即可求出 p 值；(2)比赛可以进行 2 局结束，题目已经给出这个概率值，根据比赛要求比赛不能进行 3 局即结束，这时只能是一个得 2 分、一个得 1 分，不符合要求，比赛可以 4 局结束，此时一个得 3 分、一个得 1 分，比赛不能 5 局结束，比赛 5 局时，只能是一个得
5、3 分、一个得 2 分，这时不管第六局比赛结果如何，比赛结束第20讲 要点热点探究【解答】(1)当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛停止，故 p2(1p)259，解得 p23或 p13.又 p12，故 p23.(2)由题意知 X 的所有可能取值为 2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为59，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X2)59，P(X4)159 592081，P(X6)159 159 11681，则随机变量 X 的分布列为X246P5920811681 故 E(X)2
6、59420816168126681.第20讲 要点热点探究 在一个圆锥体的培养房内培养了 40 只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的(1)求蜜蜂甲落入第二实验区的概率；(2)若其中有 10 只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；(3)记 X 为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量 X 的数学期望 E(X)和方差 D(X)第20讲 要点热点探究 第20讲 要点热点探究 第2
7、0讲 要点热点探究 探究点三 正态分布例 3 设随机变量 服从正态分布 N(，2)，函数 f(x)x24x 没有零点的概率是12，则()A1 B4C2 D不能确定【分析】根据函数 f(x)x24x 没有零点，得到 的范围，再根据正态密度曲线的对称性求解B【解析】根据题意函数 f(x)x24x 没有零点时，1644，根据正态密度曲线的对称性，当函数 f(x)x24x 没有零点的概率是12时，4.第20讲 要点热点探究 已知随机变量 服从正态分布 N(2，2)，P(4)0.84，则 P(0)()A0.68 B0.32 C0.16 D0.84C【解析】正态密度曲线关于直线 x2 对称，故P(0)P(
8、4)1P(4)0.16.第20讲 要点热点探究 创新链接 10 概率计算技巧在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在把随机事件分拆成若干个互斥事件的和、把随机事件分拆成若干个相互独立事件的乘积是比较单纯的，在概率计算中一个极为重要的技巧就是把一个随机事件首先分拆成若干个互斥事件的和，再把其中的每个小事件分拆成若干个相互独立事件的乘积，在这个过程中还可以
9、根据对立事件的关系进行转化，这是概率计算的关键技巧第20讲 要点热点探究 例 4 2011山东卷 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘，已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E.【分析】(1)“至少”包含两名及两名以上，处理“至少”问题正面不易解决时可以从反面考虑；(2)问关键是分布列求出后核实其数据的正确性【解答】(1)设甲胜 A 为事件 D，乙胜 B 为事件 E，丙胜 C 为事件 F
10、，则 D，E，F 分别表示事件甲不胜 A、事件乙不胜 B、事件丙不胜 C.因为 P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式知 P(D)0.4，P(E)0.5，P(F)0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE F)P(D E F)P(D EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.第20讲 要点热点探究(2)由题意知 可能的取值为 0,1,2,3.又由(1)知 DE F、D E F、D EF 是
11、两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立因此 P(0)P(DEF)0.40.50.50.1.P(1)P(DE F)P(D E F)P(D EF)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35.P(3)P(DEF)0.60.50.50.15.由对立事件的概率公式得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以 的分布列为：0123P0.10.350.40.15 因此 E00.110.3520.430.151.6.第20讲 要点热点探究【点评】概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了
12、这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的第20讲 要点热点探究 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中：(1)至少有 1 株成活的概率；(2)两种大树各成活 1 株的概率【解答】设 Ak 表示第 k 株甲种大树成活，k1,2；设 Bl表示第 l 株乙种大树成活，l1,2，则 A1，A2，B1，B2独立，且 P(A1)P(A2)56，P(B1)P(B2)45.(1)至少有 1 株成活的概率为1P(A1 A2 B1
13、B2)1P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)1162152899900.(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，两种大树各成活 1 株的概率为PC125616 C124515 1036 825 445.规律技巧提炼第20讲 规律技巧提炼 1在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答第20讲 规律技巧提炼
14、2相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质3求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算第20讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：概率统计解答题的考查有综合概率和统计于一体的趋势，这与前几年概率统计解答题以考查独立事件概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望有所
15、变化下面选用的两个例题目的就是如此，这两个例题和提升训练的第 7、8 两题可以给学生在这个方面一个强化第20讲 教师备用例题 例 1 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格把所得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6 小组的频数是 7.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记 X表示两人中成绩不合格的人数，
16、求 X 的分布列及数学期望；(3)经过多次测试后，甲成绩在 810 米之间，乙成绩在 9.510.5 米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率第20讲 教师备用例题【解答】(1)第 6 小组的频率为 1(0.040.100.140.280.30)0.14，此次测试总人数为 70.1450(人)第 4、5、6 组成绩均合格，人数为(0.280.300.14)5036(人)(2)X0,1,2，此次测试中成绩不合格的概率为1450 725，XB2，725.P(X0)18252324625，P(X1)C12725 1825 252625，P(X2)7252 49625.所求分布列为X012P3
17、2462525262549625 E(X)032462512526252 496251425.第20讲 教师备用例题(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x、y 米，则基本事件满足的区域为8x10，9.5y10.5，事件 A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为 xy，如图所示由几何概型得 P(A)12121212 116.第20讲 教师备用例题 例 2 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生
18、乙成绩的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；(3)若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于 80 分的次数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X)第20讲 教师备用例题【解答】(1)茎叶图如下：学生乙成绩的中位数为 84.(2)派甲参加比较合适，理由如下：x甲18(70280490298842153)85，x乙18(70180490353525)85，s2甲18(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9385)2(9585)235.5.s2乙18(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241.x 甲 x 乙，s2甲s2乙，甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适第20讲 教师备用例题(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A，则 P(A)6834，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3，且 X 服从 B3，34，P(Xk)Ck334k1343k，k0,1,2,3，X 的分布列为：X0123P16496427642764 E(X)0 1641 964227643276494或 E(X)np33494.
