1、24抛物线24.1抛物线的标准方程1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念2.会求简单的抛物线的方程1抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：标准方程焦点坐标准线方程图形y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22py(p0)Fyx22py(p0)Fy1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线()(2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数()(3)方程x22py是表示开口向上
2、的抛物线()答案：(1)(2)(3)2抛物线x24y的准线方程是()Ax1Bx1Cy1 Dy1答案：D3设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是_答案：y28x4以F为焦点的抛物线的标准方程是_答案：y23x求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F(5，0)；(2)经过点A(2，3)；(3)焦点到准线的距离为4.【解】(1)焦点在x轴负半轴上，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则5，即p10，所以所求抛物线的标准方程是y220x.(2)经过点A(2，3)的抛物线可能有两种标准形式：x22py或y22px(p0)点A(2，3)坐标代入y22px，
3、即94p，得2p；点A(2，3)坐标代入x22py，即46p，得2p.所以所求抛物线的标准方程是y2x或x2y.(3)由题意p4，故抛物线的标准方程有四种形式：y28x、y28x、x28y、x28y.(1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤(2)求抛物线的标准方程时需注意的三个问题把握开口方向与方程间的对应关系当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，这样可以减少讨论情况的个数注意p与的几何意义 1.(1)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_(2)分别根据下列条件
4、求抛物线的标准方程准线方程为y；焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.解：(1)双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为，所以2，所以p8，所以抛物线方程为x216y.(2)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，且，则p.所以所求抛物线的标准方程为x2y.由焦点到准线的距离为5，知p5，又焦点在x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y210x.抛物线定义的应用已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求PAPF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标【解】将x3代入抛物线方程得y，因为2，所以点A在抛物线内部
5、，如图设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd，由图知，当PAl时，PAd最小，最小值为，即PAPF的最小值为，此时P点纵坐标为2，则横坐标为2.所以P(2，2)抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 2.(1)已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A.B.C2 D.1(2
6、)已知抛物线x24y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12，6)，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值解：(1)选D.由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.(2)将x12代入x24y，得y366，所以点A在抛物线外部抛物线焦点为F(0，1)，准线l：y1.如图所示，过P点作PBl于点B，交x轴于点C，则PAPCPAPB1PAPF1.由图可知，当A、P、F三点
7、共线时，PAPF的值最小，所以PAPF的最小值为FA13，故PAPC 的最小值为12.1抛物线定义的三点说明(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线(3)不能把抛物线看成是双曲线的一支2抛物线的四种标准方程记忆方法(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次
8、项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2，0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程【解】法一：(1)当x0时，因为动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2，0)的距离小2，所以动点M到定点(2，0)的距离与到定直线x2的距离相等所以动点M的轨迹是以(2，0)为焦点，x2为准线的抛物线，且p4，所以抛物线的方程为y28x(x0)(2)当x0时，由于x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到(2，0)的距离小2，所以动点M的轨迹方程为y0(x0)综上，动点M的轨迹方程为y0(x0)和y28x(x0)法二：设M(x，y)
9、，则有|x|2.即x24|x|4x24x4y2，化简得y24x4|x|，所以动点M的轨迹方程为y0(x0)和y28x(x0)分x0或x0)，则56，得p2，所以抛物线的方程为y24x，选B.3以椭圆y21的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为_解析：椭圆y21的右焦点为(，0)，故抛物线的标准方程为y24x.答案：y24x A基础达标1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy28xCy24x Dy24x答案：B2已知P(8，a)在抛物线y24px(p0)上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A2 B4C8 D16解析：选B.由题意可知准线方程为xp，所
10、以8p10，所以p2.所以焦点到准线的距离为2p4.3已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.解析：选C.过A，B分别作y轴的垂线，根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(AFBF).4在同一坐标系中，方程a2x2b2y21与axby20(ab0)的曲线大致是()解析：选D.a2x2b2y21其标准方程为1，因为ab0，所以0)上一点A(m，4)到其焦点的距离为，求p与m的值解：(1)因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，所以抛物线的方程为标准方程又因为点P(4，2)在第一象限，所以
11、抛物线的方程设为y22px，x22py(p0)当抛物线为y22px时，则有222p4，故2p1，y2x；当抛物线为x22py时，则有422p2，故2p8，x28y.综上，所求的抛物线的方程为y2x或x28y.(2)由抛物线方程得其准线方程y，根据抛物线定义，点A(m，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4，解得p；所以抛物线方程为：x2y，将A(m，4)代入抛物线方程，解得m2.8.如图，已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN
12、FA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线方程为x，于是45，p2，所以抛物线的方程为y24x.(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)又F(1，0)，所以kAF，则FA的方程为y(x1)因为MNFA，所以kMN，则MN的方程为yx2.解方程组得所以N.B能力提升1已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P(xP，yP)为C上一点，若PF4，则POF的面积为()A2 B2C2 D4解析：选C.由题意知抛物线的焦点为F(，0)，准线为x.设点P在抛物线准线上的投影为点M.由抛物线的定义知 PFPM，又PF4，所以xP3，代入抛物线方程求得yP2，所以SPO
13、FOF|yP|2.2抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：如图，在正三角形ABF中，DFp，BDp，所以B点坐标为.又点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：63抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p2c.设抛物线方程为y24cx，因为抛物线过点，所以64c.所以c1，故抛物线方程为y24x.又双曲线1过点，所以1.又a2b2c21，所以1.所以a2或a29(舍去
14、)所以b2，故双曲线方程为：4x21.4(选做题)设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解：(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，BD2p，圆F的半径FAp.由抛物线定义可知A到l的距离dFAp.因为ABD的面积为4，所以BDd4，即2pp4，解得p2(舍去)或p2.所以F(0，1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A、B、F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知ADFAAB，所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为 时，由图形对称性可知，坐标原点到m、n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
