1、高考资源网（） 您身边的高考专家31.5空间向量的数量积1.理解空间向量的夹角及有关概念掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律2掌握两个向量的数量积的主要用途3.会用坐标法判断空间向量的平行、垂直，会求空间两向量的夹角空间两向量的夹角(1)定义：已知两个非零空间向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b规定0a，b.(2)由定义可得如下结论：a，bb，a；如果a，b0，则a，b同向；如果a，b，则a，b反向；如果a，b，则称a，b互相垂直，并记作ab.(3)两个非零向量才有夹角，而0与其他向量之间不定义夹角空间两向量数量积的定义定义：设a
2、，b是空间两个非零向量，我们把数量|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b特别规定：零向量与任一向量的数量积为0.空间向量数量积的性质设a，b是两非零向量，e是单位向量，a，e是a与e的夹角，于是我们有下列数量积的性质：(1)eaae|a|cosa，e；(2)abab0(a，b是两个非零向量)；(3)a，b同向ab|a|b|；a，b反向ab|a|b|；(4)cosa，b(a，b为a，b的夹角)；(5)aaa2|a|2或|a|空间向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘向量与数量积的结合律：(a)b(ab)(R)；(3)分配律：a(bc)a
3、bac.空间向量的直角坐标运算设空间两非零向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)aba1b1a2b2a3b3；(2)aba1b1，a2b2，a3b3(R)，或(b10，b20，b30)(3)|a|.夹角和距离公式(1)夹角公式设空间两个非零向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，它们的夹角为a，b，则cosa，b .(2)距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab0，则a0或b0.()(2)a，b与(a，b)都表示直角坐标系下的点()(3)在ABC中，B.()答案：(1)(2)(3)2已知i，
4、j，k是两两垂直的单位向量，a2ijk，bij3k，则ab()A2B1C1 D2答案：A3在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45的序号是_与；与；与；与.答案：4已知向量a，b满足|a|1，且ab2，a与b的夹角为，则|b|_答案：4空间向量的数量积运算已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积：(1)；(2)；(3).【解】如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(cab)(ac)|c|2|a|222220.(3)()()(abc)|
5、a|2|b|22.(1)空间向量运算的两种方法利用定义：利用ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积代入ab|a|b|cosa，b求解1.已知|a|3，|b|4，a，b120，则(3a2b)(a2b)_解析：(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|23|a|24|a|b|cos 1204|b|23943441627246461.答案：61
6、2.如图，已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)；(2)()()解：在正四面体OABC中，|1，60.(1)|cosAOB11cos 60.(2)()()()()()(2)22222122211cos 6012211cos 60111111.利用数量积求角如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值【解】因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624，所以cos，.即OA与BC所成角的余弦值为.求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围
7、(2)先求ab，再利用公式cosa，b求cosa，b，最后确定a，b 3.已知向量a(x，4，1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，且ab，bc.(1)求向量a，b，c；(2)求向量ac与向量bc所成角的余弦值解：(1)因为ab，所以，解得x2，y4，此时a(2，4，1)，b(2，4，1)又由bc得bc0，故(2，4，1)(3，2，z)68z0，得z2，此时c(3，2，2)(2)由(1)得，ac(5，2，3)，bc(1，6，1)，因此向量ac与向量bc所成角的余弦值为cos .利用向量数量积研究垂直问题已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)设a，b.(1)求a和b
8、的夹角的正弦值；(2)若向量k ab和ka2b互相垂直，求k的值【解】a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos .因为0，所以sin .(2)易知kab(k，k，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k，k，0)(2，0，4)(k2，k，4)，因为kab与ka2b垂直，所以(kab)(ka2b)0，所以(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，即2k2k100.所以k或k2.若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)(a，b为非零向量且x1，x2，y1，y2，z1，z2均不为0)，则ab；abx1x2y1y2z1z20. 4.如图，正方体ABCDA1B1C1
9、D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G平面DEF.证明：设正方体的棱长为a，因为()()a2a20，所以A1GDF，同理可证A1GDE，又DFDED，所以A1G平面DEF.空间向量的数量积的四个注意点(1)两向量的数量积，其结果为数量而不是向量，数量积的正负由两向量夹角的余弦值决定(2)两向量的数量积是两向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法有区别，在书写时要把它们区别开来，数量积写成ab，而不能写成ab，也不能写成ab的形式(3)规定：零向量与任何向量的数量积为0，即a00.(4)a(bc)(ab)c一般情况下不成立如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90
10、，ABBC1，AA1，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值【解】因为，且0，所以()()21.又|，|，所以cos，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为. (1)解答本题的易错点解题时易忽视条件ABC90及侧棱与底面垂直，从而得不出数量积为零解题时若忽视异面直线所成角的范围，导致结果写为，则实际的考试中至少会扣掉2分(2)利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的角或者是其补角(注意异面直线所成角的范围)如本例中两异面直线所成角的余弦值为正数，而非负数1已知|p|q|1，且p，q90，a3p2q，bpq，则ab()A1B2C3D4答案：A2已知向量a(1，1，0)，b(
11、1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是_答案：3在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则_答案：4已知|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|_答案： A基础达标1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6B6C3 D3解析：选B.由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6.2已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2C.a2 D.a2解析：选C.()()(
12、aaaa)a2.3若ABC中，C90，A(1，2，3k)，B(2，1，0)，C(4，0，2k)，则k的值为()A. BC2 D解析：选D.(6，1，2k)，(3，2，k)，则(6)(3)22k(k)2k2200，所以k.4.如图，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于()A6 B6C12 D144解析：选C.因为，所以2222222363636236cos 60144，所以PC12.5已知向量a(1，2，3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选C.ab(1，2，3)a，故(ab)cac7，得ac7，而|a
13、|，所以cosa，c，a，c120.已知空间向量a、b、c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_解析：因为abc0，所以(abc)20，所以a2b2c22(abbcca)0，所以abbcca13.答案：13已知a(x，2，0)，b(3，2x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_解析：cosa，b，因为夹角为钝角，所以cosa，b0，且a，b不共线，所以3x2(2x)0，所以x4.答案：x4设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为_解析：ab0，且a，b，c均为单位向量，所以|ab|，|c|1，所以(ac)(bc)ab(ab)cc2.
14、设ab与c的夹角为，则(ac)(bc)1|ab|c|cos 1cos .故(ac)(bc)的最小值为1.答案：1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，计算：(1)；(2).解：(1)|cos，11cos 60.(2)|cos，11cos 120.已知如图所示的空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.证明：由线段中点公式得：()()，又，所以()()(|2|2)(|2|2)，因为|cosAOC，|cosAOB，且|，AOBAOC，所以0，即OGBC.B能力提升1已知
15、O为坐标原点，(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.解析：选C.设，则(1，2，32)，(2，1，22)，所以(1，2，32)(2，1，22)2(3285)2.所以当时，最小，此时，即点Q的坐标为.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_解析：法一：由已知，|a|b|1，ab0，由此可知|ab|.将(ac)(bc)0展开得abaccbc20.设ab与c的夹角为，则|c|2(ab)c|ab|c|cos ，即|c|cos .故当cos 1时，|c|取最大值.法
16、二：证明：因为(ac)(bc)0，所以ac与bc互相垂直又因为ab，所以a，b，ac，bc构成的四边形是圆内接四边形，c是此四边形的一条对角线当c是直径时，|c|达到最大值，此时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值为.法三：因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可以以a，b为基底建立直角坐标系，a(1，0)，b(0，1)，设c(x，y)，则ac(1x，y)，bc(x，1y)由(ac)(bc)0得(1x)(x)y(1y)0，所以x2y2xy，从而，当且仅当xy1时取等号又|c|，故|c|的最大值为.答案：如图，已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与的夹角的余弦值解：设正方体的棱长为m，a，b，c，则|a|b|c|m，abbcac0，又因为ab，ca，所以(ab)m2，又因为|A1C1|m，|，所以cos，.(选做题)已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以，为邻边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a与，均垂直，求向量a的坐标解：(1)由题意，可得：(2，1，3)，(1，3，2)，所以cos，.所以sin，.所以，以，为邻边的平行四边形的面积为S|sin，147.(2)设a(x，y，z)由题意，得解得或所以a(1，1，1)或a(1，1，1)高考资源网版权所有，侵权必究！
