1、山西省大同市第一中学2020届高三数学下学期3月月考试题 理（含解析）全卷满分150分.考试用时120分钟.一选择题1.设全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2.若复数满足，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简得到，得到复数虚部.【详解】，则，故复数的虚部为.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.3.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，据收集
2、到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算，则，计算得到答案.【详解】，故，则，故.故选：B.【点睛】本题考查了回归方程的中心点，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出一条渐近线的方程，一个虚轴端点坐标，由点到直线距离公式得的关系，然后再得，得离心率【详解】双曲线虚轴一个端点为，一条渐近线方程为，即，又，离心率为故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出，5.设是等差数列的前项
3、和，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列通项公式可利用求得，结合等差数列求和公式，代入所求式子中即可求得结果.【详解】设等差数列公差为，则，.故选：.【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，三视图的直观图为边长为1的正方体中的，计算，得到体积.【详解】如图所示：三视图的直观图为边长为1的正方体中的，故外接球的半径为，故.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求外接球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
4、7.函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性排除；根据时，可排除；根据时，可排除，由此得到结果.【详解】定义域为，又，为奇函数，图象关于原点对称，可排除；当时，可排除；当时，增长幅度大于的增长幅度，可排除，正确.故选：.【点睛】本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题的常用方法是利用奇偶性、特殊位置的函数值、单调性来进行排除.8.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形若直角三角形中
5、较小的锐角，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由解三角形得：直角三角形中较小的直角边长为1，由，得此直角三角形另外两直角边长为，进而得小正方形的边长和大正方形的边长，由几何概型中的面积型得解【详解】设直角三角形中较小的直角边长为1，则由直角三角形中较小的锐角，得此直角三角形另外直角边长为，斜边长，则小正方形的边长为，大正方形的边长为，设“飞镖落在阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：，故选A【点睛】本题考查几何概型中的面积型，解三角形、正方形面积公式属中档题9.定义在R上的偶函数满足，当时，设函数，则与的
6、图象所有交点的横坐标之和为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得函数与的图象都关于直线对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.【详解】由题意，函数满足可知，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，由函数可知，函数的图象关于直线对称，画出函数与的图象如图所示：设图中四个交点的横坐标为，由图可知，所以函数与的图象所有交点的横坐标之和为4.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.1
7、0.已知数列满足.设，为数列前项和.若对恒成立，则实数的最小値是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用和可求得数列的通项公式，由此得到；结合等比数列求和公式可求得，由的单调性和可确定，由此可得结果.【详解】设为数列的前项和，则，当时，；当时，验证可知：时，不满足，.当时，；当时，验证可知：时，满足，单调递减，单调递增，又，即实数的最小值为.故选：.【点睛】本题考查数列中的恒成立问题的求解，涉及到数列通项公式的求解、等比数列求和公式的应用；解题关键是能够通过与的关系确定数列的通项公式.11.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆分别与轴相切于点，则的面积
8、为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图所示，直线：，联立方程得到，计算，得到答案.【详解】如图所示：，连接，过点作于，直线：，故，故，.故，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知三次函数在上单调递增，则最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数单调性可知恒成立，结合二次函数图象与性质可确定，由此化简所求式子为；利用，配凑出符合对号函数的形式，利用对号函数求得最小值.【详解】在上单调递增，恒成立，令，设，则，（当且仅当，即时取等号），即的最小值为.故选：.【点睛】本题考查利用对号函数求
9、解最值的问题，涉及到根据导数的单调性确定参数范围、分式型函数最值的求解问题；关键是能够通过二次函数的图象与性质确定的关系，进而构造出符合对号函数特点的函数.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，若，则实数_.【答案】【解析】【分析】直接利用向量垂直公式计算得到答案.【详解】，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.14.已知点满足约束条，则的最大值是_.【答案】【解析】【分析】如图所示：画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域，则，故表示直线在轴截距的倍，根据图象，当直线过点时，即时有最大值为.故答
10、案为：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图象是解题的关键.15.若函数在值域为，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先根据题意计算出的范围，再根据函数的单调性，结合值域，列出不等式，即可求得.【详解】因，且，故可得，因为在区间单调递减，在单调递增，且，故要满足题意，只需解得.故答案为：.【点睛】本题考查由余弦型函数在区间上的值域，求参数范围的问题，属中档题.16.如图，将张长为，宽为的长方形纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分，若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计)，则此长方体体积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】设阴影部分长为，宽为，则，故，求导得到单调性得到最值.
11、【详解】设阴影部分长为，宽为，则，则，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，故.故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数其最值，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分17.在锐角中，角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先将三角函数表达式化简，结合正弦定理将边化为角的表达式.由正弦和角公式化简，即可求得角.（2）根据正弦定理，由及（1）可表示出.进而用角表示出，由内角
12、和定理及角，将式中的角化为角，利用辅助角公式化简，结合正弦函数的图像与性质即可求得的取值范围【详解】（1）锐角中，由正弦定理得，又，又，（2）由正弦定理，则有， 则，因为为锐角三角形所以，可得，则， 由正弦函数的图像与性质可得，即【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角恒等变换及辅助角公式的用法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，为平行四边形，平面，且，点是的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上(不含端点)是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】分析】（1）连接交于点，由
13、三角形中位线性质知，由线面平行判定定理证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，假设，可用表示出点坐标；根据二面角的向量求法可根据二面角的余弦值构造出关于的方程，从而解得结果.【详解】（1）连接交于点，连接，四边形为平行四边形，为中点，又为中点，平面，平面，平面；（2）平面，两两互相垂直，则以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则，设，且，则，即，设平面的法向量，又，则，令，则，；设平面的一个法向量，又，则，令，则，；，解得：或，二面角的余弦值为，二面角为锐二面角，不满足题意，舍去，即.在线段上存在点，时，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中的线面平行关系的证明、存在性问题
14、的求解；求解存在性问题的关键是能够利用共线向量的方式将所求点坐标表示出来，进而利用二面角的向量求法构造方程；易错点是忽略二面角的范围，造成参数值求解错误.19.为评估设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径/7879818283848586878889909193合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）：；，评判规则为：若同时满足上述三个不等
15、式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备的性能等级.（2）将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“次品”，将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数的数学期望.【答案】（1）丙；（2）见解析【解析】【分析】（1）由表中数据即可求得各段范围内的概率，利用题中评判规则即可得解（2）由题意可知，样本中次品个数为6，突变品个数为2，“突变品”个数的可能取值为0，1，2.分别求出，的概率，问题得解【详解】（1） ， ， .因为设备的数据仅满足一个不等式
16、，故其性能等级为丙.（2）由题意可知，样本中次品个数为6，突变品个数为2，“突变品”个数的可能取值为0，1，2.，.所以分布列为 012 .【点睛】本题主要考查了统计图表知识，还考查了离散型随机变量分布列的求法及其期望公式，属于中档题20.已知椭圆的离心率，直线与圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，求直线在轴上的截距的取值范围.【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切和离心率可构造方程求得，进而得到椭圆标准方程；（2）设，与椭圆方程联立后，利用求得的范围，并得到韦达定理的形式，利用中点坐标公式表示出点坐标，从而得到方程；令可求得在
17、轴的截距，利用函数值域的求解方法可求得结果.【详解】（1）直线与圆相切，解得：，又，椭圆的方程为：；（2）由题意知：直线的斜率存在且不为零，设，中点，联立消去并整理得：，由得：或则，则方程为：，即，化简得：令得：（或），当时，；当时，；且，综上所述：直线在轴上的截距的取值范围为且.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、范围类问题的求解；求解取值范围类问题的关键是能够将参数表示为关于某一变量的函数关系式的形式，进而通过函数值域的求解方法求得结果，属于常考题型.21.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，记函数，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围【答案】
18、（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求导后，根据导函数的正负可确定函数的单调区间；（2）求得导函数的零点后，分别在、和三种情况下，根据函数的单调性和最值确定零点的个数，进而得到的范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：，当和时，；当时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）当时，令，解得：，当，即时，此时至多有两个零点，不合题意；当，即时，此时至多有两个零点，不合题意； 当，即时，（i）当时，至多有两个零点，不合题意；（）当时，此时恰好有个零点；（iii）当时，记，则，此时有四个零点；综上所述：满足条件的实数的取值集合为.【点睛】本题考查导数在研究函数中
19、的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、根据函数零点个数求解参数范围；解题关键是能够利用导数得到函数的单调性和最值，结合最值点的正负可确定零点的个数.(二)选考题：共10分.请考生在2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线(为参数)与曲线交于两点.（1）若为曲线上任意一点，当最大时，求点的直角坐标；（2）求的值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根据极坐标公式得到曲线是以为圆心，半径为的圆，故，得到答案.（2）将直线的参数方程代入
20、圆方程得到，计算得到答案.【详解】（1）由得，即，故曲线是以为圆心，半径为的圆.原点在圆上，故，易知，线段的中点为圆心点，点的直角坐标为.（2）由得，将代入并整理得：，设两点对应的参数分别为，则，由参数t的几何意义得：，故.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.选修4-5：不等式选讲23.已知.（1）将的解析式写成分段函数的形式，并求函数的值域；（2）若，对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1），值域为（2）【解析】【分析】（1）的解析式写成分段函数，画出图像得到答案.（2）利用均值不等式得到，解不等式得到答案.【详解】（1）由已知得，画出图像：根据图像知值域为.（2），.当且仅当时取“”号，即时等号成立.所以原不等式恒成立，只需，即，根据图像解得.【点睛】本题考查了绝对值函数的值域，均值不等式求最值，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
