1、河北定州中学2016-2017学年第一学期高四数学周练试题（二）一、选择题（共12小题，共60分）1已知函数定义在R上的奇函数，当时，给出下列命题：当时， 函数有2个零点的解集为 ，都有其中正确命题个数是（ ）A1 B2 C3 D42 、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为（ ）A、 B、 C、 D、3下列说法正确的个数有用刻画回归效果,当越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好；可导函数在处取得极值，则；归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”A1个 B2个 C3个 D4个4函数的定义域为实数集
2、，对于任意的都有.若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D5已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为（ ）A B C D6已知函数为上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）A B C D7设双曲线右焦点为，点到渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D8已知函数，若对任意的，在区间总存在唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D9过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（ ）A B2 C D10已知双曲线的右焦点为，抛物线的焦点是双曲
3、线虚轴上的一个顶点，线段与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的方程为（ ）A B C D11已知等比数列an中，a11，q2，则Tn的结果可化为（ ）（A）1 （B）1 （C）（1） （D）（1）12设双曲线的一条渐近线与直线的一个交点的纵坐标为,若,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D第II卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13在极坐标系中，曲线的点到点的最小距离等于 14在极坐标系中，圆锥曲线的准线的极坐标方程是 15学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有人，则的值为_元频率组距203040506
4、00.010.0360.02416已知，若均为正实数），类比以上等式，可推测的值，则=_三、解答题（8小题，共70分）17在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（1）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值（2）请问是否存在直线m，ml且m与曲线C的交点A、B满足；若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由19已知直线过点，且倾斜角为，圆的极坐标方程为（1）求直线的参数方程和圆的直角坐标方程；（2）若直线和圆相交于、，求及弦长的值20已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最小值21设椭圆E: （a,b0）过M
5、（2，），N（,1）两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由22已知函数的图象过点（-1，-6），且函数 的图象关于y轴对称.（1）求、的值及函数的单调区间；（2）若函数在（-1，1）上单调递减，求实数的取值范围23如图，已知抛物线方程为（1）直线过抛物线的焦点F，且垂直于x轴，与抛物线交于A、B两点，求AB的长度（2）直线过抛物线的焦点，且倾斜角为，直线与抛线相交于C、D两点，O为原点求OCD的面积24已知函数的图象在与轴交点处的切线方程为（1）求实数的值;（2）若函
6、数的极小值为,求实数的值;（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。参考答案【答案】B【解析】试题分析：由定义在R上的奇函数, 时，则令；，错误；当时，又为奇函数则；，有3个零点。错误；，又为奇函数则，解集为，正确；当时，求导，由奇函数，则成立。正确；考点：函数性质及导数的运用2C【解析】试题分析：由题：，则：又：，,可得；，解得； ，则： 考点：椭圆中焦点三角形的面积3C【解析】试题分析： 相关指数越大，则相关性越强，模型的拟合效果越好 错误；可导函数在处取得极值，则，正确；归纳推理是由特殊到一般的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；正确综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明
7、数学问题是“执果索因”正确考点：回归分析，导数及推理与证明的概念4B【解析】试题分析：由可得,即函数是以为周期的周期函数；在平面直角坐标系中作出函数在区间上的图象如图,函数有三个零点等价于方程有三个根,进而转化为函数与函数有三个交点.而函数是斜率为且过定点的动直线.结合图象可知当,即时两函数的图象有三个交点.故应选B.考点：函数的图象和性质的综合运用运用.【易错点晴】本题是以函数为背景,设置了一道考查分段函数的图象和基本性质的综合性问题.解答时充分借助题设中条件,合理挖掘题设条件中蕴含的有效信息,如函数的周期性,函数过定点等等.本题解答的特色还有数形结合思想的运用和转化化归的数学思想的运用等等
8、.如先将函数的零点问题转化为方程的根的问题,进而转化为函数的图象有三个交点的问题,总之本题的求解体现了函数方程思想、转化化归思想、数形结合思想等许多数学思想和方法.5C【解析】试题分析：由题设可得,故圆心在焦点上,故,设直线,代入得,所以,则,即,也即.故应选C.考点：直线与圆抛物线的位置关系及运用.6A【解析】试题分析：当时,函数都是增函数，但当时，不满足题设，所以，此时须有才能满足题设，即,所以应选A.考点：函数的图象和基本性质的综合运用.7C【解析】试题分析：因,渐近线,故,即,也即,所以离心率.故应选C.考点：双曲线的几何性质及运用.8D【解析】试题分析：由题设,即,由于,故,所以且,
9、因在上单调递增,故,所以,故,应选D.考点：函数的零点的有关知识及综合运用.9A【解析】试题分析：设,则,故,即,故,应选A.考点：双曲线的几何性质.10D【解析】试题分析：由题设,且,因,故点的坐标为,代入双曲线方程可得,结合可得,故应选D.考点：双曲线几何性质及运用.【易错点晴】本题考查的是双曲线与抛物线等有关知识的综合运用.解答时充分依据题设条件所提供的有效信息,先利用抛物线的焦点坐标与双曲线的坐标相同确定双曲线中,然后再借助题设中已知条件,求出点的坐标为,再将其代入双曲线方程结合求出从而使得问题获解.11C【解析】试题分析：因成等比数列,且公比为,故,选C.考点：等比数列的通项及前项和
10、的综合运用.12B【解析】试题分析：由题意得，所以，选B.考点：双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.13【解析】试题分析：极坐标方程与直角坐标方程互化依据；，则点的直角坐标是； ；而，可化为；，圆心为；最短距离为； 考点：直角坐标与极坐标的互化及点到圆的距离【答案】【解析】试题分析：由， 则；准线方程为；，化为极坐标为； 考点：抛物线的性质及极坐标与直角坐标的互化15 【解析】试题分析
11、：由频率分布直方图可求出的频率；即；，则可得； 考点：频率分布直方图的读法16【解析】试题分析：由题观察所给的式子，分母顺次增加1，分子为2各项分子，可得第个等式为，考点：观察推理能力17（1）最小值为，最大值为；（2） 【解析】试题分析：（1）由题可先将直线的参数方程化为普通方程，再将曲线C的参数方程代入点到直线的距离公式，然后运用三角函数的性质可求出最值；（2）由题可先假设存在直线并设出直线方程；，再化成椭圆的普通方程，与直线联立然后代入弦长公式，最后回到三角形的面积公式，建立关于的方程可求出试题解析：（1）直线l的参数方程化为直角坐标系方程，因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为， 从而
12、点Q到直线的距离为，由此得，当时，d取得最小值，且最小值为当时，d取得最大值，且最大值为 （2）设平行线m方程：， ，得； ，设O到直线m的距离为d，则 经验证均满足题意所以满足题意直线m有4条，方程为： 考点：（1）椭圆参数方程及三角函数性质的综合运用；（2）存在性问题及方程思想18（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题可用反证法证明，需先假设结论的反面“都是奇数”，然后由假设出发，进行推理可得出一个与条件矛盾的结论，则说明假设不成立，即原来的结论成立（2）由题可用综合法证明，即从给出的条件出发，进行变形为，再建立不等关系，最后运用不等式的性质可证试题解析：（1）（反证法）假设x，y
13、，z都是奇数，那么都是奇数，所以是偶数，所以，这与已知相矛盾，所以x，y，z不可能都是奇数 （2）x，y，z都是正整数，都是正整数又，则， ， ，所以 考点：（1）反证法的运用及推理论证能力（2）综合法证明不等式及变形转化能力19（1） ，；（2） 【解析】试题分析：（1）由题可先求直线的参数方程，已知过点及倾斜角，可设出参数得参数方程，再由圆的极坐标方程，两边同乘可代换出普通方程（2）由题为直线与圆相交问题，由（1）已知方程，可将直线的参数方程代入圆的方程，可得关于参数的方程，再分别表示出和，可求出值试题解析：（1）直线的参数方程为（为参数），即（为参数），圆的直角坐标方程为 （2）把代入，
14、化简得 ，设，则 考点：（1）直线的参数方程及圆的极坐标与直角坐标的互化 （3）直线的参数方程与圆的问题20（1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由及，求处的切线方程，可由求切线方程的步骤，先求出导数，再求出该点处的导数值即斜率，代入点斜式可得；（2）由题求上的最小值为，可按求函数最值得步骤，先求导，因为值不确定，需对它进行分类讨论来分别解决，（确定单调性，求极值，最后与区间端点值比较），最后综合所有情况可得试题解析：（1）当时，切点为 ,切线的斜率为 切线方程为，即 （2） 当时，在上为增函数, 当时，若，即时，当时，当时，在上为减函数，在上为增函数, 若，即时，在上为减函数 综上： 考点
15、：1运用导数求曲线上某点的切线方程；2导数求函数的最值及分类思想；21（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题已知椭圆方程；，过两点可代入方程，解关于的方程组可得椭圆方程.（2）由题为存在性问题，可假设存在圆，再设出切线方程与（1）中的椭圆方程联立，设出两点坐标并运用根与系数的关系表示出，结合条件，可建立的方程，再由圆的半径建立的关系可求出半径，得出圆的方程试题解析：（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，），N（,1）两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则=,即要使,需使,
16、即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.考点：（1）椭圆的定义及方程思想（2）存在性问题及直线与椭圆和方程思想，代数运算能力；22（1），增区间为，减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）由过点（-1，-6），及关于y轴对称可建立关于的方程可求出解析式，求的单调区间，可求的导数，运用导数求函数的单调性，增区间则，减区间为，求出不等式的解集可得（2）由在给定的区间上，则可运用导数求
17、导，转化为在区间上恒成立问题，求出可得； 试题解析：（1）由函数图象过点（1，6），得，由，得， 则，而图象关于y轴对称，所以0，所以m=-3,代入得n=0.于是 由得x2或x0,故f（x）的单调递增区间是（，0），（2，）；由得0x2,故f（x）的单调递减区间是（0，2）（2）由在（-1,1）上恒成立，得对恒成立.， 考点：1.函数的性质及运用导数求函数的单调性；（2）函数的单调性及最值思想.23（1）8； （2）【解析】试题分析：（1）由题已知抛物线方程；，过抛物线的焦点F，且垂直于x轴，易求出A、B两点坐标，运用两点间的距离公式可得；（2）由题可先求出直线方程并与抛物线方程联立，再设出两
18、点坐标，运用根与系数的关系可求出弦长，最后利用三角形的面积公式可得试题解析：（1）抛物线方程为，焦点，又直线过焦点，且垂直于x轴，的方程为，联立方程组，解得 ，（2）由（1）焦点，直线倾斜角为，直线的斜率，其方程为，设，联立方程组 ，又，OCD的面积为考点：（1）抛物线的性质及弦长（2）直线与抛物线的位置关系及几何性质的运用；24（1）2；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由题已知函数在点处的切线方程为，可得又过点，可分别建立关于的方程组，求得的值；（2）由题函数（含参数），已知极小值，可先求导，然后对参数分情况讨论，可分别出函数的单调区间及对应的极小值，解方程可得（3）由任意的，都有恒成立问题，可进行变量分离得；，再联系导数在给定区间上的值域问题，可得的取值范围试题解析：（1）函数的图象在与轴交点为,又, （2）由（1）得当时,恒成立，不存在极值； kCom当时,由得或,由得在上单调递增,在单调递减, 当时,由得或,由得在上单调递增,在单调递减,综上所述,实数或 （3）对任意的，不等式恒成立，则任意的恒成立,又在区间上一定存在,使,而在区间上,的值域为即, 所以,考点：（1）运用导数的几何意义及方程思想；（2）运用导数求函数的单调性及分类思想（3）导数的运用及恒成立中的最值思想
