1、高考资源网（） 您身边的高考专家山东省泰安英雄山中学2019-2020学年高二期中数学测试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复合函数求导法则计算【详解】由题意，故选：A【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础2.已知z=(i为虚数单位)，在复平面内，复数z的共轭复数对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.【详解】，所以在复平面内共轭复数对应的点在第二象限.故选：B【点睛】本题考
2、查了复数的运算法则以及复数的几何意义，属于基础题.3.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A. 24B. 18C. 12D. 9【答案】B【解析】【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C226种走法同理从F到G，最短的走法，有C31C223种走法小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318种走法故选B【
3、考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的4.已知函数，则在的切线方程为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程.【详解】，又，切点坐标为，在处的切线方程为：，即.故选：.【点睛】本题考查求解在曲线某一点处的切线方程的问题，关键是熟练掌握导数的几何意义，利用导数求得切线斜率.5.甲乙两人进行乒乓球赛，现采用三局两胜
4、的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.【详解】随机变量可能的取值为.，故的分布列为：23故因为，故，而，故A、B错误.而，令，因为，故，此时，必成立，故C错误，D正确.故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望、方差的计算以及函数的值域的求法，计算分布列时可借助常见的分布列（如二项分布等）来计算，估计方差的范围时，注意利用换元法把高次函数的值域问题转化为二次函数的值域问
5、题.6.已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下：012342.24.34.867且回归方程是，则（ ）A. 2.5B. 3.5C. 4.5D. 5.5【答案】C【解析】 由题意得，根据表中的数据，可知，且，所以，解得，故选C.7.某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出事件：数学不排第一节，物理不排最后一节的概率，设事件：化学排第四节，计算事件的概率，然后由公式计算即得【详解】设事件：数学不排第一节，物理不排
6、最后一节. 设事件：化学排第四节. ，故满足条件的概率是.故选C【点睛】本小题主要考查条件概率计算，考查古典概型概率计算，考查实际问题的排列组合计算，属于中档题.8.已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.【详解】依题意，则，当时，故函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调递减，故，则只需，故，解得，故实数的取值范围为.故选：C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立
7、问题的综合应用，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限【答案】AB【解析】【分析】根据欧拉公式的定义，代入，判断选项A，根据模的计算公式判断B，令，两个式子联立解方程组判断C,令，则表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，判断D.【详
8、解】解析：，A对；，B对：，C错；依题可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为，显然该点位于第四象限；D错；故选：AB.【点睛】本题考查新定义和复数的计算和性质，属于基础题型，本题的关键是读懂新定义.10.函数， 下列结论正确的是（ ）A. 时，有两个零点B. 时，的极小值点为2C. 时，恒成立D. 若只有一个零点，则【答案】ABD【解析】【分析】对选项逐个验证即得答案.【详解】对于选项，当时，其定义域为，令.当时，；当时，在上单调递减，在单调递增，且，在定义域内有两个零点，故选项正确；对于选项，由上面的推导过程可知，当时，的极小值点为2，故选项正确；对
9、于选项，由上面的推导过程可知，故选项错误；对于选项，若只有一个零点，则方程只有一个根，即方程只有一个根，令，则函数图象与直线只有一个交点.，令，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，；函数图象与直线只有一个交点时，故选项正确.故选：.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.11.对任意实数，有.则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，将整理为的表达式，得到的二项展开式，从而可以根据二项展开式的通项公式和赋值法，即可判断正误.【详解】对任意实数x，有，故A正确；故令，可得，故B不正确；令，可得，故C正确；令，可得，故
10、D正确；故选：ACD.【点睛】本题考查了二项式定理，考查了赋值法求和，考查了转化思想，属于较难题.12.关于函数，下列判断正确的是（ ）A. 是的极大值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得成立D. 对任意两个正实数，且，若，则.【答案】BD【解析】【分析】A.求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断B.求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可C.利用参数分离法，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可D.令g（t）f（2+t）f（2t），求函数导数，研究函数的单调性进行证明即可【详解】A.函数的 的定义域为（0，+），函数的导
11、数f（x），（0，2）上，f（x）0，函数单调递减，（2，+）上，f（x）0，函数单调递增，x2是f（x）的极小值点，即A错误；B.yf（x）xlnxx，y10，函数在（0，+）上单调递减，且f（1）1ln11=10，f（2）2ln22= ln210，函数yf（x）x有且只有1个零点，即B正确；C.若f（x）kx，可得k，令g（x），则g（x），令h（x）4+xxlnx，则h（x）lnx，在x（0，1）上，函数h（x）单调递增，x（1，+）上函数h（x）单调递减，h（x）h（1）0，g（x）0，g（x）在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数k，使得f（x）kx恒成立，即C不正确
12、；D.令t（0，2），则2t（0，2），2+t2，令g（t）f（2+t）f（2t）ln（2+t）ln（2t）ln， 则g（t）0，g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）g（0）0，令x12t，由f（x1）f（x2），得x22+t，则x1+x22t+2+t4，当x24时，x1+x24显然成立，对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f（x1）f（x2），则x1+x24，故D正确故正确的是BD，故选：BD【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，有一定的难度三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13
13、.若随机变量，且，则展开式中项的系数是_【答案】1620【解析】随机变量，均值是2，且，；又展开式的通项公式为，令，解得，不合题意，舍去；令，解得，对应的系数为；令，解得，不合题意，舍去；展开式中项的系数是，故答案为1620.点睛：本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题；根据正态分布的概率性质求出的值，再化；利用(展开式的通项公式求出含的系数，即可求出对应项的系数.14.已知随机变量，若，则_【答案】【解析】随机变量服从，解得：.又，故答案为0.115.已知，若函数有4个零点，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】【分析】转化条件得有4个零点,令，
14、画出两函数的图象后可得当函数过点和时、函数与的图象相切时，函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解.【详解】由题意有4个零点即有4个零点,设，则恒过点，函数与的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数与的图象，如图，由图象可知，当时，函数与的图象至多有2个交点；当函数过点和时，此时函数与的图象恰有3个交点；当函数与的图象相切时，设切点为，解得，此时函数与的图象恰有3个交点；当时，两函数图象至多有两个交点；若要使函数有4个零点，则.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.16.
15、下列说法中，正确的有_回归直线恒过点，且至少过一个样本点；根据列列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两个变量不相关；某项测量结果服从正态分布，则，则【答案】【解析】【分析】由回归直线的性质判断；由独立性检验的性质判断；由正态分布的特点判断.【详解】回归直线恒过点，但不一定要过样本点，故错误；由，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故正确；的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故错误；,，故正确；故答案为：【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.四、解
16、答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分.17.已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数和；(2)若在第四象限，求的取值范围.【答案】（）， （） 或 【解析】【试题分析】（1）依据题设建立方程求出，再求其模；（2）先求出，再建立不等式求解：（）设，则 （） 或点睛：本题旨在考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用求解时先，然后依据题设建立方程求出，再求其模；第二问时先求出，再建立不等式组求解得 或而获解.18.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：（1）求的值；（2）求展开式中常数项；（3）计算式子
17、的值.【答案】（1）6；（2）60；（3）.【解析】【分析】（1）依题意，即可求的值；（2）写出通项，令的指数为3，即可求展开式中含的项；（3）令得详解】（1）依题意，即，解得；（2）由（1）知，由，得，展开式中常数项（3）令得【点睛】本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想19.已知函数（）.（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，恒有成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得函数的定义域和导函数，对分成、三种情况，讨论的单调区间.（2）先求得的最大值，由此化简不等式，得到，构造函数，利用一次函数的性质列不等式组，
18、解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）由（）当时，在和上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数；当时，在和上是减函数，在上是增函数（2）当时，由（1）可知在上是减函数，由对任意的，恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，设，则.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.某服装公司，为确定明年类服装的广告费用，对往年广告费（单位：千元）对年销售量（单位：件）和年利润（单位：千元）的影响.对2011-2018广告费和年销售量数据进行了处理，分析出以下散点图和统计量：455802025
19、29716009601440表中（1）由散点图可知，和更适合作为年销售量关于年广告费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果和表中数据求关于的回归方程.（3）已知该类服装年利率与的关系为.由（2）回答以下问题：年广告费用等于60时，年销售量及年利润的预报值为多少？年广告费用为何值时，年利率的预报值最小？对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【答案】（1）（2）（3），；2.77千元【解析】【分析】（1）根据散点图可判断哪个更优；（2）先建立y关于w的线性回归方程，再求y关于x的回归方程；（3）由(2)计算x=60时年销售量y的预报值和年利润z的
20、预报值，根据(2) 的结果，利用二次函数的图象与性质即可得出x为何值时z取得最大值.【详解】(1) 根据散点图即可得出判断, 更适合作为年销售量关于年广告费的回归方程.（2）令，先建立y关于w的线性回归方程，所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于x的回归方程为.（3）当时，年销售量y的预报值为（件），年利润z的预报值为（千元）；根据(2)的结果可知，年利润z的预报值，当千元时，年利率的预报值最小.【点睛】本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题，准确的计算是解题的关键，属中档题.21.某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，
21、每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.理科方向文科方向总计男110女50总计（1）根据已知条件完成下面列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.参考公式：，其中.参考临界值： 0.100.050.0250.0100.
22、0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析， .【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可得分数在、之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算的值，结合参考临界值表可得到结论；（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率.由题意，求出分布列，根据公式求出期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图可得分数在之间的学生人数为，在之间的学生人数为，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为理科方向文科方向总计男8030110女405090总计12080200又，所以有99%的把握认为是否为“
23、文科方向”与性别有关.（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为.依题意知，所以（），所以的分布列为0123P所以期望，方差.【点睛】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.22.已知函数ae2x+(a2) exx.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个
24、零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.（2）（）若，由（1）知，至多有一个零点.（）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.高考资源网版权所有，侵权必究！
