1、长春、沈阳、大连、哈尔滨四市联考数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟。第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）集合，且A的元素中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）（A）11个 （B）12个（C）15个 （D）16个（2）若函数的值域是，则其定义域是（ ）（A） （B）（C） （D）（3）设复数，则的最大值是（ ）（A） （B）（C） （D）（4）设m，n为两条直线，、为两个平面，A为一点，给出以下四个命题：若，则m、n必为异面直线；若则n/a；若则/；
2、若则m。其中正确的命题个数为（ ）（A）0 （B）1（C）2 （D）3（5）与正弦曲线关于直线对称的曲一是（ ）（A） （B）（C） （D）（6）（文）直线l与直线y=1,x-y=7分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为（1，-1），那么直线l的斜率为（ ）（A） （B）（C） （D）（理）在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为（ ）（A）（B）（C）（D）（7）（文）直线 与圆交于E、F两点，则EOF（O是原点）的面积等于（ ）（A） （B）（C） （D）（理）方程（t为参数）表示的曲线为（ ）（A）一条直线（B）一条线段（C）一条射线（D）抛物线（8）已知等比数列中，则=（ ）（A） （
3、B）（C） （D）3b-2a（9）若abb0）的左、右焦点，是它的长轴和短轴（其中是右顶点），是过并且与x轴垂直的弦，已知，则离心率e=_。（16）一个正三棱柱形容器ABC-以三角形ABC为底面成水平放置，其高为2a，内盛水若干，水面高度为x，若将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面，则x=_。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出说明、证明过程或演算步骤）（17）（本小题满分12分）在复平面上，复数对应的点为。将向量按顺时针方向旋转锐角所得向量对应的复数是，且。若ABC的内角，最长边为1。（）求角C的大小；（）求ABC的面积。（18）（本小题满分12分）设
4、a0，解关于x的不等式。（19）（本小题满分12分）已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别在AB和PC上，。（）求四棱锥N-BCDM的体积；（）求二面角N-DM-C的正切值；（）求直线AC和平面NDM所成角的正弦值。（20）（本小题满分12分）某集团投资办甲、乙两个企业，2000年甲企业获得利润80万元，乙企业获得利润180万元。以后每年企业的利润甲以上年利润的1.5倍速度递增，而乙企业是上年利润的，预期目标为两企业当年利润之和为400万元。从2000年起，（）哪一年两企业获利之和最小？（）需经过几年可以达到预期目标？（精确到一年）（21）（本小题满分12分）（文）已知焦点在x轴上
5、的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且与以点A为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称。（）求双曲线C的方程；（）（文）若直线l过A点，l与C交于D、E两点，且DE在x轴上的射影的长度为，求直线l的方程。（理）设直线与双曲线C的一个交点为M，另外，在双线曲C上取关于原点对称但不与点M重合的两点，证明直线l平分直线和所成的角或其补角。（22）（本小题满分14分）（文）数列中，（）当时，求数列的通项公式，当时，求数列的通项公式；（）设为数列的前n项和，求；（）当时，令，且求。（理）数列中，（）求的通项公式；当时，求数列的通项公式；（）设为数列的前n项和，并且有相同的n，使得与
6、都取最小值，求a的取值范围；（）当时，令，且求。答案一、（1）A （2）B （3）B （4）A （5）D （6）A （7）C （8）C （9）D （10）B （11）C （12）D二、（13） （14）18 （15）（16）三、（17）解（I）设，则。 （2分）。 （3分）于是。 （5分）。 （6分）（）在ABC中，由，得。 （8分）在ABC中，由正弦定理，得，。 （11分）从而。 （12分）（18）解：原不等式等价于由。 （6分）由，当时，。 （8分）当时，。 （10分由，当时，原不等式解集为；由，当时，原不等式解集为。 （12分）（19）解：（I）过N作于H点，则，是交线。而，即NH是四棱
7、锥的高线，并且有 （2分）又，从而。 （4分）（）过H作点，连结NK，则NKH为二面角的平面角。 （5分）由（1）可知，则由于，所以。从而，。 （7分）而，所以为所求。 （8分）（）过H作于O点，令，则，HQO是直线AC和平面NDM所成的角。（9分）在中可求得。又 ，而，。 （11分）在中，为所求。 （12分）（20）解：设甲企业年利润为数列，乙企业年利润为数列，则 。（I）。 （4分）当且仅当，n=2。 （6分）（）（舍） （8分）又当时，有成立。 （11分）答：第二年获利之和最小，需经过5年可达到预期目标。 （12分）（21）解：（I）设双曲线C过第、象限的渐近线方程为，即，（1分）该直线
8、与圆相切， （3分）双曲线C的两条渐近线方程为。故设双曲线C的方程为，又双曲线C的一个焦点为，双曲线C的方程为。 （5分）（）（文）设，由可得 （6分）由条件知解得。 （7分）设D、E两点的横坐标分别为和，则。 （7分）。 （10分）。解得。 （11分）由可知，均满足要求，故所求直线的方程为。 （12分）（理）由求得 （6分）不妨设，则且。若，则，。 （6分）设到的角为到的角为，则 ，。，平分和所成的角或其补角。 （11分）若，则，此时平行于轴，平行于轴，此时也平分和所成的角或其补角。 （12分）22解：（文）（I）由已知又，两式相减得 （2分）数列的奇数项与偶数项分别是公差为3的等差数列又，
9、所以当时，数列是以为公差的等差数列。因此当时， （4分）当时， 是奇数时， （5分）是偶数时，。 （6分）即当时，；当时， （）当是偶数时，。 （8分）当是奇数时，。 （10分）（）由（1）知，当时，；从而 （12分）。 （13分） （14分）（理）（I）由已知又，两式相减得 （2分）数列的奇数项与偶数项分别是公差为3的等差数列。又，所以当时，数列是以为公差的等差数列。因此当时，。当时， 是奇数时，。 （4分）是偶数时，。 （6分）即当时，；当时， （如果不讨论和，只写出分段表达式，不扣分）（）当是偶数时，。 （8分）当是奇数时， （8分）由于当时取最小值0，所以当时取最小值。而由上可知是奇数时，时，是偶数时，时，从而，故。 （10分）（）由（1）知，当时，；即 （12分）从而 （13分）。 （14分）