1、退出 目录 第一章 推理与证明退出 目录 1 归纳与类比退出 目录 学习目标 重点难点 1.通过对已学知识的回顾,进一步体会归纳推理的基本方法与步骤.2.通过对已学知识的回顾,认识类比推理的基本方法与步骤.3.能正确区分归纳推理与类比推理.重点:归纳推理与类比推理的含义,能利用归纳推理与类比推理进行简单推理.难点:利用归纳推理与类比推理做出猜想,说明所得结论的正确与否.退出 目录 1.归纳推理的定义(1)根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.(2)归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.但是,利用归纳推理得出的结论不一定是
2、正确的.退出 目录 预习交流 1举出归纳推理的实际例子.提示:蛇是用肺呼吸的,鳄是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇,鳄,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的.退出 目录 2.类比推理的定义(1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.但是,利用类比推理得出的结论不一定是正确的.(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些
3、结果的推理方式.退出 目录 预习交流 2请你讲述鲁班发明锯子的故事,并说明他的推理过程.提示:春秋时期鲁国的公输班(后人称鲁班,是土木工匠们的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,由这件事他发明了锯子.他的推理是类比推理:茅草是齿形的,茅草能割破手,如果把铁制成齿形的,一定能割断更坚硬的东西,所以他把锯制成了齿形,果真能较轻松割断木头.退出 目录 一、归纳推理下列各组数都依照一定的规律排列,在括号内填上适当的数.(1)1,5,9,13,17,();(2)23,1,1 12,2 14,3 38,().思路分析:要在括号内填上适当的数,必须正确地判断出每组数所依照的规律,为此必须进行仔细
4、的观察与分析.答案:(1)21(2)5 116退出 目录 解析:(1)观察相邻两数的差:5-1=4,9-5=4,13-9=4,17-13=4.由此归纳推理,相邻两数之差为 4 且后边数值大.按此规律,括号里的数减去 17 等于 4,所以括号内应填:17+4=21.(2)先把给出的数据改写为 23,1,32,94,278.可以发现12332,321=32,933422,2793842,后一个数是前一个数的 32倍,因此括号内应填:273818216=5 116.退出 目录 有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律,拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是().A.26B.31C.
5、32D.36答案:B退出 目录 解析:方法一:有菱形纹的正六边形个数如下表:图案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项,以 5 为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 6+5(6-1)=31.方法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需 6 个有菱形纹正六边形围绕(图案 1)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加 5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6+5(6-1)=31退出 目录 无论是数或是图形,应认真观察、分析,
6、并根据题目的特点不断地调整自己的分析角度,以便发现其中蕴涵的一般规律.退出 目录 二、类比推理根据平面上圆的性质,试类比推出空间中球的类似性质.思路分析:由于圆、球有比较类似的性质,故可以通过类比圆得到球的一些性质.退出 目录 解:圆的主要性质 球的主要性质 1 平面内与定点距离等于定长的点集(轨迹)空间中与定点距离等于定长的点集(轨迹)2 同圆(或等圆)的半径相等,直径是半径的 2 倍 同球(或等球)的半径相等,直径是半径的 2 倍 3 与弦垂直的直径过弦的中点,圆半径的平方=圆心到弦距离的平方+弦长的一半的平方 与截面垂直的直径过截面圆的圆心,球半径的平方=球心到截面圆距离的平方+截面圆的
7、半径的平方 4 不经过圆心的弦小于直径;经 过圆心 的弦是直径,是最大的弦 不经过球心的截面截得的圆是球的小圆,其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积;经过球心的截面截得的圆是球的大圆,是最大的截面圆 退出 目录 续表 圆的主要性质 球的主要性质 5 过切点的圆的半径垂直于圆的切线 过切点的球的半径垂直于球的切面(与球面只有一个公共点的平面叫作球的切面,这个公共点叫作切点.类似的,与球面只有一个公共点的直线叫做球的切线,这个公共点也叫做切点.球的切线有以下主要性质:1.过切点的球半径垂直于球的切线;2.过球面上一点的切线有无数条,这些切线都在过这一点的球的切面内 6 圆 周 长=2圆半径圆面积
8、=圆半径的平方 大圆周长=2球半径球表面积=4球半径的平方球体积=43球半径的立方 退出 目录 已知等差数列an,公差为 d,前 n 项和为 Sn,有如下的性质:(1)通项 an=am+(n-m)d;(2)若 m+n=p+q,其中 m,n,p,qN+,则am+an=ap+aq;(3)若 m+n=2p,m,n,pN+,则 am+an=2ap;(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列.类比上述性质,在等比数列bn中,写出相类似的性质.解:在等比数列bn中,公比为 q,前 n 项和为 Sn,类比等差数列可得出:(1)通项 bn=bmqn-m;(2)若 m+n=p+q,其中 m,n,p,q
9、N+,则 bmbn=bpbq;(3)若 m+n=2p,其中 m,n,pN+,则 bmbn=2pb;(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等比数列.退出 目录 1.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).2.类比推理得到的结论不一定正确,所以我们要进行验证或证明.退出 目录 1.把 1,3,6,10,15,21,这些数叫作三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图),则第七个三角形数是().A.27B.28C.29D.30答案:B解析:第七个三角形数为 1+2+3+4+5+6+7=
10、28.退出 目录 2.如图为一串黑白相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第 36颗珠子的颜色是().A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大答案:A解析:从图中可看出每三白两黑五颗珠子为一组进行循环,而36=75+1,所以第 36 颗与第 1 颗同色.退出 目录 3.已知bn为等比数列,b5=2,则 b1b2b9=29.若an为等差数列,a5=2,则an得出的类似结论为().A.a1a2a9=29B.a1+a2+a9=29C.a1a2a9=29D.a1+a2+a9=29答案:D解析:由等差数列的性质知:a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5.退出 目录 4.已知
11、f(n)=1+1123+1n(nN+),经计算f(2)=32,f(4)2,f(8)52,f(16)3,f(32)72,推测当 n2 时,有 .答案:f(2n)22n 解析:f(2)=f(21)=12322,f(4)=f(22)2=222,f(8)=f(23)53222,f(16)=f(24)3=422,f(32)=f(25)75222,f(2n)22n.退出 目录 5.在平面中,我们有结论:“平行于同一条直线的两条直线平行”,“垂直于同一条直线的两条直线平行”,将这两个结论推广到空间中,有什么结论?这些结论是否正确?解:在空间中相应的结论分别是:(1)平行于同一个平面的两个平面平行;(2)垂直于同一个平面的两个平面平行.其中(1)是正确的,(2)是错误的.
