1、3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法 理解教材新知 突破常考题型 第三章 题型一 题型二 题型三 知识点一 知识点二 应用落实体验 跨越高分障碍 随堂即时演练 课时达标检测 返回 返回 第一课时 一元二次不等式及其解法返回 提出问题观察下列不等式：(1)x20；(2)x22x0；(3)x25x60.问题 1：以上给出的 3 个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？返回 提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是 2.问题 2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？提示：形如 ax2bxc0(或0)，其中 a，b，c 为常数，且 a0.导入新知1一元二次不等式我们把只含
2、有未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2bxc0(0)或 ax2bxc0(0)(其中 a0)的不等式叫做一元二次不等式一个最高次数是2返回 2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的，叫做这个一元二次不等式的，其解的，称为这个一元二次不等式的.化解疑难1定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有 1 个，未知数的最高次数是 2，且最高次的系数不能为 0.x的值 解 解集 集合 2解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.返回 提出问题已知：一元二次函数 yx22x，一元二次方程 x22x0，一元
3、二次不等式 x22x0.问题 1：试求二次函数与 x 轴交点坐标问题 2：一元二次方程根是什么？提示：(0,0)、(2,0)提示：x10，x22.返回 问题 3：问题 1 中的坐标与问题 2 中的根有何内在联系？问题 4：观察二次函数图象，x 满足什么条件，图象在 x 轴上方？问题 5：能否利用问题 4 得出不等式 x22x0，x22x0的解集？提示：交点的横坐标为方程的根提示：x2 或 x0.提示：能，不等式的解集为x|x2 或 x0，x|0 x2返回 导入新知一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式 b24ac000)的根有两相异实根 x1，x2，(x1x2)有两相等实
4、根 x1x2 b2a没有实数根返回 判别式 b24ac000)的图象ax2bxc0(a0)的解集 Rax2bxc0)的解集 或 xx2x|xx1x|x b2ax|x1x0；(2)x27x6.(3)(2x)(x3)x(4x)解：(1)方程 x25x60 的两根为 x11，x26.结合二次函数 yx25x6 的图象知，原不等式的解集为x|x6返回(2)原不等式可化为 x27x60.解方程 x27x60 得，x11，x26.结合二次函数 yx27x6 的图象知，原不等式的解集为x|1x0.方程(x2)(x3)0 两根为 2 和3.结合二次函数 y(x2)(x3)的图象知，原不等式的解集为x|x2返回
5、(4)由原不等式得 8x28x44xx2.原不等式等价于 9x212x40.解方程 9x212x40，得 x1x223.结合二次函数 y9x212x4 的图象知，原不等式的解集为x|x23.返回 例 2 解关于 x 的不等式 x2(1a)xa0.解 方程 x2(1a)xa0 的解为 x11，x2a，函数yx2(1a)xa 的图象开口向上，则当 a1 时，原不等式解集为x|ax1；当 a1 时，原不等式解集为；当 a1 时，原不等式解集为x|1xa返回 类题通法解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需
6、用公式，则应对判别式 进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论返回 活学活用2解关于 x 的不等式：ax2(a1)x10(aR)解：原不等式可化为：(ax1)(x1)0，当 a0 时，x1，当 a0 时x1a(x1)01ax1.当 a1 时，x1，返回 当1a0 时，x1a(x1)0，x1a或 x1.当 a1 时，1a1，x1 或 x1a，综上原不等式的解集是：当 a0 时，x|x1；当 a0 时，x|1ax1；当 a1 时，x|x1；当1a0 时，x|x1或x1a.当 a1 时，x|x1a或x1，返回 例 3 已知关于 x 的不等式 x2axb0 的解集为x|1x2，求
7、关于 x 的不等式 bx2ax10 的解集解 x2axb0 的解集为x|1x2，1,2 是 x2axb0 的两根由韦达定理有a12，b12，返回 得a3，b2，代入所求不等式，得 2x23x10.由 2x23x10(2x1)(x1)0 x12或 x1.bx2ax10 的解集为，12(1，)返回 类题通法1一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2bxc0 的根，也是函数 yax2bxc 与 x轴交点的横坐标2二次函数 yax2bxc 的图象在 x 轴上方的部分，是由不等式 ax2bxc0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax2bxc0
8、的 x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化返回 活学活用3已知方程 ax2bx20 的两根为12和 2.(1)求 a、b 的值；(2)解不等式 ax2bx10.解：(1)方程 ax2bx20 的两根为12和 2，由根与系数的关系，得122ba，1222a.解得 a2，b3.返回(2)由(1)知，ax2bx10 可变为2x23x10，即 2x23x10，解得12x1.不等式 ax2bx10 的解集为x|12x1返回 5.有关三个“二次”关系的不等式的解法典例 已知关于 x 的不等式 ax2bxc0 的解集是x|x2或x12，求 ax2bxc0 的解集返回 解题流程 要解 ax2bxc0，首先
9、确定 a 的符号，最好确定 a，b，c 的值由已知可确定 a0，利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解的关系列关于 a、b、c 的方程，把 b、c 用 a 表示由给定不等式的解集形式确定 a0 及关于 a、b、c 的方程组b、c 用 a 表示代入所求不等式求解 ax2bxc0 的解集 返回 名师批注 不注意判断a的符号，误认为a0.学生常出现解集不用集合表示的失误 规范解答由题意，2，12是方程 ax2bxc0 的两个根，(2分)且 a0，故212 ba212 ca，(4 分)解得 ac，b52c.(6 分)所以不等式 ax2bxc0 即为 2x25x20，(8 分)解得12x2.即不等式
10、ax2bxc0 的解集为x|12x2.(12 分)返回 活学活用已知一元二次不等式 x2pxq0 的解集为x|12x13，求不等式 qx2px10 的解集解：因为 x2pxq0 的解集为x|12x13，所以 x112与 x213是方程 x2pxq0 的两个实数根，返回 由根与系数的关系得1312p，1312 q，解得p16，q16.所以不等式 qx2px10 即为16x216x10，整理得 x2x60，解得2x3.即不等式 qx2px10 的解集为x|2x3返回 随堂即时演练1不等式 x(2x)0 的解集为()Ax|x0 Bx|x2Cx|x2 或 x0 Dx|0 x2解析：原不等式化为 x(x
11、2)0，故 0 x2.答案：D返回 2已知集合 Mx|x23x280，Nx|x2x60，则 MN 为()Ax|4x2 或 3x7Bx|4x2 或 3x7Cx|x2 或 x3Dx|x2 或 x3解析：Mx|x23x280 x|4x7，Nx|x2x60 x|x2 或 x3MNx|4x2 或 3x7答案：A返回 3二次函数 yx24x3 在 y0 时 x 的取值范围是_解析：由 y0 得 x24x30，1x3答案：(1,3)返回 解析：由题意可知12，2 是方程 ax2bx20 的两个根由根与系数的关系得122ba，1222a，解得 a2，b3.答案：2 34若不等式 ax2bx20 的解集为x|12x2，则实数a_，实数 b_.返回 5解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x22(x1)解：(1)原不等式可化为 x27x120，因为方程 x27x120的两根为 x13，x24，所以原不等式的解集为x|3x4(2)原不等式可以化为 x22x20，因为判别式 4840，方程 x22x20 无实根，而抛物线 yx22x2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.“课时达标检测”见“课时跟踪检测(十五)”
