1、不等式【考纲解读】了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题，形成良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力
2、.从近几年高考题目来看，不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低.【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多样，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。 2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查
3、。考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。3.预计在2012年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。【要点梳理】1.不等式的性质与证明：(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三相等”,三者缺一不可;(3)一元
4、二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式；(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。2.不等式的解法:(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.【考点在线】考点一 不等式的性质例1.（2011年高考浙江卷文科6)若为实数,则“”是“”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件【答案】
5、 D【解析】则 不充分 则 不必要条件，故选D.【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法.【备考提示】：不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考，不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查，熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键.练习1:（2011年高考全国卷文科5)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】 故选A.【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式.【备考提示】：熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键. 练习2: 2010年高考山东卷文科14）
6、已知，且满足，则xy的最大值为 .【答案】3【解析】因为，所以，解得，故xy的最大值为3.考点三 解不等式高考要求掌握简单不等式的解法.解不等式是研究函数和方法的重要工具，是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段，“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，它渗透到高中数学的每个角落中（如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等），其基本思想是转化思想转化的方法是: 超越式分式整式（高次）整式（低次）一次(或二次)不等式其中准确熟练求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，解一元高次不等式的有效方法是序轴法.此外,要
7、重视数形结合、分类讨论思想的运用.不等式的解法是高考必考内容，直接考查主要以选择题、填空题为主，这类题小巧灵活，常考常新；但有时也以解答题形式出现，主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多，常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式，但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法例3. (2011年高考辽宁卷理科9)设函数f（x）=则满足f（x）2的x的取值范围是（ ） （A）-1，2 （B）0，2 （C）1，+） （D）0，+）【答案】 D【解析】不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.【名
8、师点睛】本题考查不等式的解法,包含指数与对数不等式.【备考提示】：不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式（包括含有参数的）、简单的分式不等式、指数与对数不等式.练习3：(2011年高考广东卷文科5)不等式的解集是（ ）A B.C D 【答案】D【解析】由题得所以选D.考点四 线性规划线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题.例4. (2011年高考安徽卷文科6)设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为( )（A） 1，1 (B) 2，2 (C ) 1，2 (D)2，1【答案】B【解析】三条直线的交点分别
9、为（0,1），（0，1），（1,0），分别代入，得最大值为2，最小值为2.故选B.【名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题.【备考提示】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标求出代入计算即可.练习4：（2011年高考山东卷文科7)设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5【答案】B【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数取得最大值为10,故选B.考点五 不等式的证明高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是
10、高中数学的重要内容，同时也是高中数学的难点，加之题型广泛，涉及面广，证法灵活，因而备受命题者的青睐，成为高考的热点问题.但由于在高考时，涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上，其综合性强、思维量大，因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题，而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题，重在考查逻辑思维能力，以及常用的不等式证明方法（基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等）.例5.已知a，bR，且a+b=1.求证： 证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数,
11、也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同.证法二：（放缩法）, 左边右边证法三：（均值换元法），所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立.证法四：（判别式法）设y= (a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故.【名师点睛】：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.【备考提示】：证明不等式的方法有许多，关键是靠平常的善于总结.5. 已知，求证：【解析】，两边同加上得，又，两边同加上得，【考题回放】1.(2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为( )（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D
12、）【答案】D【解析】则因为所以 即于是所以成立，充分条件； 反之成立，即则,故，不必要条件。故选A.3.（2009年高考山东卷文科第5题）在R上定义运算:,则满足的实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知: ,解得,故选B.4. (2011年高考天津卷文科5)已知则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.5(2011年高考广东卷文科4)函数的定义域是 （ ）A B C D【答案】C【解析】由题得所以选C.6(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系上的区
13、域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）A3B4CD【答案】B【解析】由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。,所以，所以选择B7.（2011年高考福建卷文科10)若a0, b0, 且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在处有极值，则的最大值等于( )A. 2 B. 3C. 6 D. 9【答案】D【解析】,所以在处有极值,所以,即,又,所以,即,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为9,选D.当时，；当时，越往下的临界值越小，故选C.9（2011年高考湖南卷文科3)的( )A充
14、分不必要条件必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因，反之，不一定有。10（2011年高考湖北卷文科8)直线与不等式组表示平面区域的公共点有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个【答案】B【解析】画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4),C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),故由图知有唯一交点，故选B.11.(2011年高考安徽卷文科13)函数的定义域是 . 【答案】（3,2）【解析】由可得，即，所以.12（2011年高考江西卷文科15)对于，不等式的解集为_.【答案】【解析】两种方法，方法一：分三段，当x2时， x+10-x+2,x
15、2,方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为10，到2的距离为2，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的范围是.13. （2011年高考海南卷文科14)若变量满足约束条件,则的最小值为 .【答案】-6【解析】画出不等式组表示的平面区域,平移目标函数表示的直线,不难求出最小值为-6.14（2011年高考浙江卷文科16)若实数满足，则的最大值是 .【答案】【解析】.15. (2011年高考天津卷文科12)已知,则的最小值为 .【解析】设坐标原点的直线方程为,则由解得交点坐标为、，即为P、Q两点，所以线段PQ
16、长为，当且仅当时等号成立，故线段PQ长的最小值是4.【高考冲策演练】一、选择题：1.（2010年高考天津卷文科7）设集合则实数a的取值范围是(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】因为，所以或，解得实数a的取值范围是，故选C.2（2010年高考福建卷文科5）设x,y,且,则的最小值等于( )A.2 B.3 C.5 D.9【答案】B【解析】画出不等式表示的平面区域如图阴影所示，当直线过点（1，1）时，取得最小值3，故选B。3(2010年高考江西卷文科1)对于实数，“”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，不能得，.4(2
17、010年高考江西卷文科2)若集合，则( )A BC D【答案】C【解析】.5(2010年高考江西卷文科5)不等式的解集是( )A B C D6. (2010年高考浙江卷文科6)设0x，则“x sin2x1”是“x sinx1”的( )（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为0x，所以sinx1，故xsin2xxsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B.7. (2010年高考宁夏卷文科11)已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2
18、x-5y的取值范围是( )（A）（-14，16） （B）（-14，20） （C）（-12，18） （D）（-12，20）【答案】B 【解析】由已知条件得，由得，所以当直线经过点B（3，4）时，最大，即取最小为；当直线经过点D（0，）时，最小，即取最大为20，又由于点在四边形的内部，故8（2010年高考广东卷文科8）“0”是“0”成立的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C非充分非必要条件 D充要条件9（2010年高考陕西卷文科6）“a0”是“0”的( )(A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A10（ 2010年高考全国卷文科7）已知函数.若且，则的取值范围是( )(A) (B)(C) (D) 【答案】C【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0ab,所以0a1f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+).【解析2】由0a0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.
