1、专题五 恒成立问题 专题五 恒成立问题 主干知识整合专题五 主干知识整合 1在代数综合问题中常遇到恒成立问题恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解2恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)xD，f(x)C；(2)xD，f(x)g(x)；(3)x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C；(4)x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|.专题五 主干知识整合 3不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值若不
2、等式 Af(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 Af(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 Bf(x)maxf(x)的上界小于 B.(2)分离参数法将参数与变量分离，即化为 g()f(x)(或 g()f(x)恒成立的形式；求 f(x)在 xD 上的最大(或最小)值；解不等式 g()f(x)max(或 g()f(x)min)，得 的取值范围(3)转换成函数图象问题若不等式 f(x)g(x)在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 yf(x)和图象在函数 yg(x)图象上方；若不等式 f(x)g(x)的问题，需要先设函数 yf(x)g(x)，再转化为xD，ymin
3、0.例 1 已知函数 f(x)x|xa|2x.(1)若函数 f(x)在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2)求所有的实数 a，使得对任意 x1,2时，函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)2x1 图象的下方 探究点一 xD，f(x)g(x)的研究 专题五 要点热点探究【解答】(1)f(x)x|xa|2xx22ax，xa，x22ax，xa.由 f(x)在 R 上是增函数，则a2a2，a2a2，即2a2，故 a 的取值范围为2a2.(2)由题意得对任意的实数 x1,2，f(x)g(x)恒成立，即 x|xa|1 在1,2恒成立，也即 x1xa0，从而 x1x为增函数，由此得x1x max3
4、2；当 x1,2时，x1x 1 1x20，从而 x1x为增函数，由此得x1x min2，所以32ac 的恒成立问题时，如果函数 f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数 f(x)的最值专题五 要点热点探究 已知 f(x)x36ax29a2x(aR)，当 a0 时，若对x0,3有 f(x)4 恒成立，求实数 a 的取值范围 专题五 要点热点探究【解答】f(x)3x212ax9a23(xa)(x3a)，故 f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,3a)上单调递减，在(3a，)上单调递增(1)当
5、 a3 时，函数 f(x)在0,3上递增，所以函数 f(x)在0,3上的最大值是 f(3)，若对x0,3有 f(x)4 恒成立，需要有f34，a3，解得 a.(2)当 1a3 时，有 a33a，此时函数 f(x)在0，a上递增，在a,3上递减，所以函数 f(x)在0,3上的最大值是 f(a)，若对x0,3有 f(x)4 恒成立，需要有fa4，1a3，解得 a1.专题五 要点热点探究(3)当 a3a，此时函数 f(x)在a,3a上递减，在3a,3上递增，所以函数 f(x)在0,3上的最大值是 f(a)或者是 f(3)由 f(a)f(3)(a3)2(4a3)，0a34时，f(a)f(3)，若对x0
6、,3有 f(x)4 恒成立，需要有f34，0a34，解得 a12 39，34.34af(3)，若对x0,3有 f(x)4 恒成立，需要有fa4，34a1，解得 a34，1.综上所述，a12 39，1.专题五 要点热点探究 对于形如x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C 的问题，因为|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以原命题等价为 f(x)maxf(x)minC.例 2已知函数 f(x)ax3bx23x(a，bR)，在点(1，f(1)处的切线方程为 y20.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值 x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|
7、c，求实数 c 的最小值 探究点二 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C 的研究专题五 要点热点探究【解答】(1)f(x)3ax22bx3，根据题意，得f12，f10，即ab32，3a2b30，解得a1，b0，f(x)x33x.(2)令 f(x)3x230，即 3x230，解得 x1，x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2极大值极小值 2f(1)2，f(1)2，当 x2,2时，f(x)max2，f(x)min2.则对于区间2,2上任意两个自变量的值 x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4，所以 c4，即 c 的最小值为 4.专题五 要
8、点热点探究【点评】在处理这类问题时，因为 x1，x2 是两个不相关的变量，所以可以等价为函数 f(x)在区间 D 上的函数差的最大值小于 c，如果 x1，x2 是两个相关变量，则需要代入 x1，x2 之间的关系式转化为一元问题专题五 要点热点探究 形如x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|这样的问题，首先需要根据函数 f(x)的单调性去掉|f(x1)f(x2)|a|x1x2|中的绝对值符号，再构造函数 g(x)f(x)ax，从而将问题转化为新函数 g(x)的单调性例 3 已知函数 f(x)x1alnx(aR)(1)求证：f(x)0 恒成立的充要条件是 a1；(2)若 a1 时，f
9、(x)0，所以函数 f(x)在(1，)上是增函数，当 0 x1 时，f(x)0.(i)当 a0 时，f(x)0 恒成立，所以函数 f(x)在(0，)上是增函数而 f(1)0，所以当 x(0,1)时，f(x)0 时，因为当 xa 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(a，)上是增函数；当 0 xa 时，f(x)0，所以函数 f(x)在(0，a)上是减函数所以 f(x)f(a)a1alna.因为 f(1)0，所以当 a1 时，f(a)f(1)0，此时与 f(x)0 恒成立相矛盾所以 a1，综上所述，f(x)0 恒成立的充要条件是 a1.专题五 要点热点探究(2)由(1)可知，当 a0 时，函数 f
10、(x)在(0,1上是增函数，又函数 y1x在(0,1上是减函数，不妨设 0 x1x21，则|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x1)，1x1 1x2 1x1 1x2，所以|f(x1)f(x2)|41x1 1x2 等价于 f(x2)f(x1)4x1 4x2，即 f(x2)4x2f(x1)4x1.设 h(x)f(x)4xx1alnx4x.则|f(x1)f(x2)|41x1 1x2 等价于函数 h(x)在区间(0,1上是减函数因为 h(x)1ax 4x2x2ax4x2，所以所证命题等价于证 x2ax40 在 x(0,1时恒成立，即 ax4x在 x(0,1上恒成立，即 a 不小于 yx4x在区间(0,1内的最大值而函数 yx4x在区间(0,1上是增函数，所以 yx4x的最大值为3，所以 a3.又 a0.故 sinx10 在1，)上恒成立，只需 sin110，即 sin1，只有 sin1.结合(0，)，得 2.
