1、第7讲 平面向量 第7讲 平面向量 主干知识整合第7讲 主干知识整合 1平面向量的基本概念2共线向量定理向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使 ba.如果向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1 或者 x1y2x2y10，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x2x1y2y1，即对应坐标的比值相等3平面向量基本定理对于任意 a，若以不共线的向量 e1，e2 作为基底，则存在唯一的一组实数对，使 ae1e2.第7讲 主干知识整合 4向量的坐标运算a(x1，
2、y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)5数量积(1)已知 a，b 的夹角为a，b(0，)，则它们的数量积为 ab|a|b|cos，其中|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即 a(bc)(ab)c；(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2；(3)两 非 零 向 量a，b的 夹 角 公 式 为cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22；(4)|a|2aa.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零要点热
3、点探究第7讲 要点热点探究 例 1(1)a，b 是不共线的向量，若AB 1ab，AC a2b(1，2R)，则 A，B，C 三点共线的充要条件为()A121B121C1210D1210(2)2011山东卷 设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2(R)，A1A4 A1A2(R)，且112，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2，已知点 C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点 A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC、D 可能同时在线段 AB 上DC、D 不可能同时在线段
4、AB 的延长线上 探究点一 平面向量的概念及线性运算第7讲 要点热点探究 【分析】(1)由于向量AC，AB 有公共起点，因此三点 A，B，C 共线只要AC，AB 共线即可，根据向量共线的条件即存在实数 使得AC AB，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消掉 即得结论；(2)根据各点的坐标以及向量的共线的关系，找出 c，d 所满足的关系式，再根据各个选项进行分析判断第7讲 要点热点探究 (1)D(2)D【解析】(1)只要AC，AB 共线即可，根据向量共线的条件即存在实数 使得AC AB，即 a2b(1ab)，由于 a，b 不共线，根据平面向量基本定理得 11 且 2，消掉 得 121.(2)
5、由新定义知，AC AB，即(c,0)(1,0)，c.同理AD AB，即(d,0)(1,0)，d，又112，1c1d2.若点 C为线段 AB 中点，则12，与112 矛盾，所以 C 不为线段 AB中点，同理 D 不为线段 AB 中点若点 C，D 同在线段 AB 上，则1c1d2，只能一个点在线段 AB 上，另一个点在线段 AB 的延长线上第7讲 要点热点探究 【点评】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果 a，b 不共线，那么 1a2b1a2b 的充要条
6、件是 11 且 22.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA xOB yOC，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 xy1.第7讲 要点热点探究 (1)如图 71，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若AB mAM，AC nAN(m，n0)，则1m4n的最小值为()图 71A2B4C.92D9(2)2011湖南卷 设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_ 第7讲 要点热点探究 (1)C(2)(4，2)【解析】(1)MO AO AM AB AC21mAB 121m AB 1
7、2AC，同理NO 121n AC 12AB，M，O，N 三点共线，故121m AB 12AC 121n AC 12AB，即121m2 AB 122n AC 0.由于AB，AC 不共线，根据平面向量基本定理121m20 且122n0，消掉 即得 mn2，故1m4n12(mn)1m4n 125nm4mn 12(54)92.正确选项为 C.(2)因为 a 与 b 的方向相反，根据共线向量定义有：ab(1a 22abb 21ab12a b coscos120，23，所以 p1 为真命题，p2 为假命题又因为ab 1a 22abb 21ab12a b coscosb0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左
8、顶点为 A，若|F1F2|2，椭圆的离心率为 e12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若 P 是椭圆上的任意一点，求PF1 PA的取值范围；(3)已知直线 l：ykxm 与椭圆相交于不同的两点 M，N(均不是长轴的端点)，AHMN，垂足为 H 且AH 2MH HN，求证：直线 l 恒过定点 探究点三平面向量的共线与垂直的综合运用第7讲 要点热点探究 【解答】(1)由已知得 c1，a2，b 3，所求椭圆方程为x24 y231.(2)设 P(x0，y0)，又 A(2,0)，F1(1,0)，PF1 PA(1x0)(2x0)y2014x203x05.由于 P(x0，y0)在椭圆上，2x02，可知 f(x
9、0)14x203x05 在区间2,2上单调递增，当 x02 时，f(x0)取最小值为 0；当x02 时，f(x0)取最大值为 12，PF1 PA的取值范围是0,12【分析】(1)待定系数法；(2)用椭圆上点 P 的坐标表示出数量积PF1 PA，根据椭圆上点的坐标的范围求解；(3)根据已知的垂直关系和向量等式，求出AM AN，然后使用韦达定理代入，得出直线方程中的参数 k，m 的关系，再根据这个关系确定直线系过的定点第7讲 要点热点探究 (3)由 ykxm，x24 y231得(34k2)x28kmx4m2120，由 0 得 4k23m2.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x28km
10、34k2，x1x24m21234k2，AM AN(AH HM)(AH HN)AH 2AH HN HM AH HM HN 0，(x12)(x22)y1y20，即(1k2)x1x2(2km)(x1x2)4m20，4k216km7m20，k12m 或 k72m，均适合当 k12m 时，直线过 A 点，舍去当 k72m 时，直线 ykx27k 过定点27，0.第7讲 要点热点探究 【点评】本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM AN 0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数 k，m 的方程，确定 k，m 的关系，把双
11、参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的 第7讲 要点热点探究 已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为 y43x，右焦点 F(5,0)，双曲线的实轴为 A1A2，P 为双曲线上一点(不同于 A1，A2)，直线 A1P、A2P 分别与直线 l：x95交于 M、N 两点(1)求双曲线的方程；(2)求证：FM FN 为定值 第7讲 要点热点探究 【解答】(1)依题意可设双曲线方程为x2a2y2b21，则 ba43，c5，c2a2b2a3，b4，所求双曲线方程为x29 y2161.(2)A1(3,0)、A2(3,0)、F(5,0)，设 P(x，y)，M95，y
12、0，A1P(x3，y)，A1M 245，y0，A1、P、M 三点共线，(x3)y0245 y0，y024y5x3，即 M95，24y5x3.同理得 N95，6y5x3.FM 165，24y5x3，FN 165，6y5x3，FM FN 25625 14425 y2x29.x29 y2161，y2x29169，FM FN 25625 14425 169 25625 25625 0，即FM FN 0 为定值第7讲 要点热点探究 创新链接4 平面向量中的最值、范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两
13、个向量夹角的范围等最值和范围问题都是在变动的情况下，某个量在一个特殊情况上取得极端值，也就是在动态的情况下确定一个静态的情况，使得这个情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个量大等)在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，这个思想在平面向量的最值、范围问题中也是适用的，但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合第7讲 要点热点探究 例 4 2011辽宁卷 若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.21B1C.2D2【分析】向量的模与向量
14、的关系是解决此类问题的关键第7讲 要点热点探究 【解 析】B|a b c|abc2 a2b2c22ab2ac2bc，由于 ab0，所以上式32cab.又由于(ac)(bc)0，得(ab)cc21，所以|abc|32cab1，故选 B.【点评】本题的易错点是忽视向量的数量积是常数第7讲 要点热点探究 已知OB(2,0)，OC(2,2)，CA(2cos，2sin)，则OA 与OB 夹角的取值范围是()A.12，3B.4，512C.12，512D.512，2 第7讲 要点热点探究 C【解析】OA OC CA(2 2cos，2 2sin)，设 A(x，y)，则x2 2cos，y2 2sin，其中 是参
15、数，消掉 即(x2)2(y2)22，这是一个以点(2,2)为圆心、2为半径的圆，作出图象如图，从图中可知两向量OA 与OB 夹角的取值范围是12，512.第7讲 要点热点探究 第7讲 规律技巧提炼 1当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN ON OM(其中 O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则，对于非零向量 a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量 a，b 互相垂直，反
16、之也成立规律技巧提炼第7讲 规律技巧提炼 3两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线4平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题，这类问题可以和三角函数中的一些题型相互对比；解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系，最后的解题还得落实到解析几何方面第7讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：虽然平
17、面向量在高考中可能出现在解答题中，但是平面向量难点并不是在解析几何和三角函数的综合解答题中，在这类试题中平面向量往往是一些最基本和简单的问题，平面向量的难点在于其必须从代数与几何的两个方面同时进行才能解答的问题，为此我们提供下面的三个备用例题例 1 和例 2 与三角形的四心有关，这是一个难点；例 3 为 2010 年全国卷的高考试题，是解法思路较广的一个最值问题第7讲 教师备用例题 例 1 已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上 不 共 线 的 三 个 点，动 点 P 满 足 OP OA AB|AB|sinBAC|AC|sinC，0，)，则 P 点的轨迹一定通过ABC 的()A重心B垂
18、心C内心D外心【分析】设ABC 中，BC 边上的高为 h，则|AB|sinB|AC|sinCh，这样就简化了已知的向量关系式，只要根据平面向量加法的几何意义即可作出判断第7讲 教师备用例题【解析】A 根据分析，OP OA h(AB AC)，设 D 为 BC 的中点，则AB AC 2AD，所以OP OA2h AD，即点 P 在ABC 的边 BC 的中线所在的直线上，所以点 P 的轨迹过ABC 的重心【点评】本题中根据几何图形和三角函数的概念，发现|AB|sinB|AC|sinCh 是解题的关键第7讲 教师备用例题 例 2 已知非零向量AB 与AC 满足AB|AB|AC|AC|BC0，且 AB|A
19、B|AC|AC|12，则ABC 的形状为()A等腰非等边三角形B等边三角形C三边均不相等的三角形D直角三角形【分析】根据平面向量加法的几何意义，向量 AB|AB|AC|AC|的中点在角 A 的内角平分线上，AB|AB|AC|AC|BC 0 说明，角 A 的内角平分线垂直于对边，根据数量积的定义 AB|AB|AC|AC|12，说明 A120.第7讲 教师备用例题【解析】A 根据AB|AB|AC|AC|BC 0，知角 A 的内角平分线和 BC 边的高线重合，说明三角形是等腰三角形；根据数量积的定义 AB|AB|AC|AC|12，说明 A120.故三角形是等腰非等边的三角形【点评】解答本题的关键是注
20、意到向量 AB|AB|，AC|AC|分别是与向量AB，AC 同方向的单位向量，两个单位向量的和一定在角 A的内角平分线上第7讲 教师备用例题 例 3 2010全国卷 已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么PAPB的最小值为()A4 2B3 2C42 2D32 2第7讲 教师备用例题【解析】D 方法 1：设|PA|PB|x，APB，则 tan21x，cosx21x21，则PAPBx2x21x21x4x2x21 x2123x212x21x212x2132 23，当且仅当 x21 2，即 x2 21 时，取“”，故PAPB的最小值为 2 23.第7讲 教师备用
21、例题 方法 2：设APB，0，则|PA|PB|1tan2.PA PB|PA|PB|cos1tan22coscos22sin22 12sin22 1sin22 12sin22sin22.换元：令 xsin22，0 x1，PAPB1x12xx2x1x32 23.第7讲 教师备用例题 方法 3：建立平面直角坐标系设圆的方程为 x2y21，A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，PAPB(x1x0，y1)(x1x0，y1)x212x1x0 x20y21，OA PA(x1，y1)(x1x0，y1)0 x21x1x0y210 x1x01，PAPB x212x1x0 x20y21x212x20(1x21)2x21x2032 23.第7讲 教师备用例题 高考命题者说【考查目标】本题考查函数最小值的概念和求解方法，考查圆的切线及其性质、向量数量积的概念和运算，综合考查考生应用数学知识解决实际问题的能力【命制过程】“从一点出发到圆的切线，求切线长”，这个问题对考生来讲并不陌生本题把求切线长的问题设计在求PAPB 的最小值的过程中，对考生的能力提出了比较高的要求【试题评价】试题通过求数量积的最小值问题，将几何问题和代数计算巧妙结合，使对数学基础知识的考查达到必要的探究(引自高等教育出版社 2011 年大纲版的高考理科试题分析第 101 页第 11 题)
