1、模板专项集训二、快捷解答主观题答题模板数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，本节结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零，强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化模板1|三角函数的周期性、单调性及最值问题【例1】(满分 14分)设函数f(x)32 3s
2、in2xsin xcos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，32 上的最大值和最小值解题指导 化简变形f(x)Asin(x)根据周期求确定x的范围求f(x)的最值 规范解答示例(1)f(x)32 3sin2 xsin xcos x 32 31cos 2x212sin 2x2分 32 cos 2x12sin 2xsin2x3.4分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4，又0，所以 22 44，6分因此1.7分(2)由(1)知f(x)sin2x3.当x32 时，53 2x383.9分所以 32 sin2x3 1.因此1
3、f(x)32.12分故f(x)在区间，32 上的最大值和最小值分别为 32，1.14分 构建答题模板 第一步三角函数式的化简，一般化成yAsin(x)h或yAcos(x)h的形式第二步利用性质条件确定A，的值第三步将“x”看作一个整体确定其范围第四步结合图象及所求x的范围确定相关问题第五步明确规范地表达结论反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范模板2|三角变换与解三角形问题【例2】(满分 14分)在ABC中，若acos2C2ccos2A232b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)求角B的取值范围解题指导(1)化简变形用余弦定理转化为边的关系变形证明(2)用余弦定理表示角用均值不等式求范围
4、确定角的取值范围 规范解答示例(1)证明：因为acos2C2ccos2A2a1cos C2c1cos A232b，所以ac(acos Cccos A)3b，4分故acaa2b2c22abcb2c2a22bc3b，整理得ac2b，故a，b，c成等差数列.8分(2)cos Ba2c2b22aca2c2ac222ac3a2c22ac8ac6ac2ac8ac12，12分因为0B，所以0B3.14分 构建答题模板 第一步定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向第二步定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步求结果第四步回顾反思，在实施边角互化的时
5、候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形模板3|利用向量求空间角【例3】(满分 14分)如图1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点图1(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD13，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值解题指导(1)M是AB中点，四边形ABCD是等腰梯形 AB2CD AMC1D1C1M平面A1ADD1(2)CA，CB，CD1两两垂直建立空间直角坐标系，写各点坐标求平面ABCD的法向量将所求两个
6、平面所成的角转化为两个向量的夹角 规范解答示例(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC.又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连结AD1，如图(1)(1)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，3分因此C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.5分(2)如图(2)，连结AC，MC.(2)由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BCADMC，由题意ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此A
7、B2BC2，CA 3，7分因此CACB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Cxyz，所以A(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，3)，8分因此M32，12，0，所以MD1 32，12，3，D1C1 MB 32，12，0.10分设平面C1D1M的一个法向量为n(x，y，z)，由nD1C1 0，nMD1 0，得 3xy0，3xy2 3z0，可得平面C1D1M的一个法向量n(1，3，1)又CD1(0,0，3)为平面ABCD的一个法向量，12分因此cos CD1 n|CD1|n|55.13分所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为 55.14分 构建答题模板
8、 第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线第二步写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标第三步求向量：求直线的方向向量或平面的法向量第四步求夹角：计算向量的夹角第五步得结论：得到所求两个平面所成的角或直线和平面所成的角模板4|直线与圆锥曲线【例4】(满分 14分)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率e 32，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)，若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA QB 4，求y0的值解题指导(1)离心率、菱形面积关于a，b的方程求a，b，
9、写出椭圆方程(2)设出直线l的方程直线与椭圆方程联立分情况求线段AB的垂直平分线QA QB 用斜率k表示解方程求k 规范解答示例(1)由eca 32，得3a24c2.再由c2a2b2，解得a2b.2分由题意可知122a2b4，即ab2.解方程组a2b，ab2，得a2，b1.所以椭圆的方程为x24y21.4分(2)由(1)知，点A的坐标是(2,0)，且直线l的斜率必存在设点B(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组ykx2，x24y21，消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系，得2x116k2414k2，所
10、以x128k214k2，从而y14k14k2.所以B为28k214k2，4k14k2，因此线段AB的中点M为 8k214k2，2k14k2.8分以下分两种情况：当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA(2，y0)，QB(2，y0)由QA QB 4，得y02 2.10分当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y2k14k21kx 8k214k2.令x0，解得y06k14k2.由QA(2，y0)，QB(x1，y1y0)，12分QA QB 2x1y0(y1y0)228k214k26k14k24k14k26k14k2 416k415k2114k224，整理，得7k22.所以k
11、 147，代入得y02 145.综上，y02 2或y02 145.14分 构建答题模板 第一步由离心率，得a2b.第二步根据菱形的面积求a，b，确定椭圆方程第三步设直线l的方程，联立椭圆方程，用k表示点B的坐标第四步求出线段AB的中点M的坐标第五步当k0时，求y0.第六步当k0时，用k表示线段AB的垂直平分线，并用k表示y0.第七步根据QA QB 4，求出k值，从而求出y0的值模板5|应用问题【例5】(满分 14分)(2016南京模拟)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的
12、造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P能否大于 120，说明理由解题指导(1)题设信息 ymkny与x的函数关系(2)建立P的函数表达式求P的上界对P是否大于 120作出判断 规范解答示例(1)依题意得 ymknmk(ax5)，xN*.4 分(2)依题意 x0.2a.6 分所以 Pmxy xkax50.2ak 0.2a25aka225 8 分a3a22513a25a132a25a 130 120.13 分
13、即 P 不可能大于 120.14 分模板6|函数的单调性、最值、极值问题【例6】(满分 16分)已知函数f(x)aln x2a2x x(a0)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)当a(，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)12e2.解题指导(1)f(1)2求a.(2)讨论f(x)0或f(x)0f(x)ax2a2x2 1(x0)根据题意，有f(1)2，所以2a2a30，解得a1或a32.4分(2)f(x)ax2a2x2 1x2ax2a2x2xax2ax2(x0).6分当a0时，因为x0，由f(
14、x)0得(xa)(x2a)0，解得xa；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0 xa.所以函数f(x)在(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减.8分当a0，由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得x2a；由f(x)0得(xa)(x2a)0，解得0 x0(k1,2，2 004)，即An是递增数列.14分综上可知，E数列An是递增数列的充要条件是an2 016.16分 构建答题模板 第一步依据E数列定义，分别求a2，a4，a5，进而写出一个E数列A5(不唯一)第二步由An的单调性，去绝对值，利用等差数列求an.第三步利用不等式的性质，判定|ak1ak|10.第四步根据充要条件的意义，得证结
15、论第五步反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范模板9|离散型随机变量的概率分布【例9】(满分 10分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，摸出3个白球的概率；获奖的概率(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)解题指导(1)摸出三个白球的情形利用相互独立事件概率求解获奖的情形求获奖概率(2)分析获奖次数X的所有取值求概率列分布列求E(X)规范解答示例(1)设“在1次游戏中摸出i个
16、白球”为事件Ai(i0,1,2,3)，则P(A3)C23C25C12C2315.2分设“在1次游戏中获奖”为事件B，则BA2A3，又P(A2)C23C25C22C23C13C12C25 C12C2312，且A2，A3互斥，4分所以P(B)P(A2)P(A3)1215 710.5分(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)1 7102 9100，P(X1)C12 7101 710 2150，P(X2)7102 49100.所以X的分布列是X012P9100215049100 8分X的数学期望E(X)0 9100121502 4910075.10分 构建答题模板 第一步求摸出3个白球的概率第二步求在1次游戏中获奖的概率第三步求在2次游戏中获奖次数X的分布列第四步求X的数学期望第五步反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范如本题可重点查看随机变量的所有可能值是否正确；根据分布列性质检查概率是否正确模板专项集训 点击图标进入
