1、课堂讲练互动课前探究学习3.2.2 复数的乘法32.3 复数的除法课堂讲练互动课前探究学习【课标要求】1掌握复数代数形式的乘法和除法运算2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律【核心扫描】1复数代数形式的乘法和除法的运算(重点)2共轭复数的概念及i的幂的周期性(难点)课堂讲练互动课前探究学习自学导引1复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi).2复数乘法的运算律对任意z1、z2、z3C，有(1)交换律：z1z2.(2)结合律：(z1z2)z3(3)乘法对加法的分配律：z1(z2z3).(acbd)(adbc)iz2z1z1(z2z3)z
2、1z2z1z3课堂讲练互动课前探究学习想一想：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并课堂讲练互动课前探究学习3复数的除法法则 设 z1abi(a，bR)，z2cdi(cdi0 且 c，dR)，则z1z2abicdiacbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)课堂讲练互动课前探究学习想一想：z z与|z|2 和|z|2 有什么关系？提示 z z|z|2|z|2.课堂讲练互动课前探究学习名师点睛1复数运算的技巧在复数运算中，除了灵活运用运算法则及各种运算律之外，常用的还有三大技巧(1)i 的周期
3、性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nZ)，它们在遇到 i 的高次幂时非常好用(2)1i 的变形：(1i)22i，(1i)(1i)2，它们的应用也非常广泛，且很容易与 i 的周期性连用(3)注意 12 32 i 的一些变形：31,120，2 等的应用课堂讲练互动课前探究学习2对共轭复数及性质的理解(1)共轭复数的注意事项 实数 a 的共轭复数仍是 a 本身，即 zC，z zzR，这是判断一个数是否是实数的一个准则 共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应注意它的几何特征：在复平面内对应的点关于实轴对称；代数特征：实部相等，虚部互为相反数课堂讲练互动课前探究学习(2)共轭
4、复数性质的巧用在解题过程中，若能利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简，可使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果，一般地，共轭复数有如下性质：设 zabi，其共轭复数为 zabi(a，bR)，则|z|z|(因为|z|abi|a2b2，|z|abi|a2b2)；课堂讲练互动课前探究学习z z|z|2R(因为 z z(abi)(abi)a2b2|z|2)；z z2a 为实数；z z2bi(b0)为纯虚数；z 为实数z z；z 为纯虚数z z0 且 z0.课堂讲练互动课前探究学习3复数的除法与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，但复数的除法中分母为复数，一般不能直接约分化简复
5、数的除法的一般做法是，由于两个共轭复数的积是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分式的形式，然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数)，并把结果化简即可也就是说abicdiabicdicdicdiacbdbcadic2d2acbdc2d2bcadc2d2 i(cdi0)课堂讲练互动课前探究学习题型一 复数代数形式的乘除运算【例 1】计算：(1)2 1i15 1i222；(2)1ii2i100；(3)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)；(4)1i71i 1i71i 34i22i343i.课堂讲练互动课前探究学习思路探索 本题主要考查复数的运算法则以及有关性
6、质复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行乘方、开方，再进行乘、除，最后进行加、减解 (1)原式2 ii16 1i22 222(2i)2i112112ii112ii32ii22i.(2)原式1i1011i 1i1i1.课堂讲练互动课前探究学习(3)原式2(4i)(3i)(7i)(43i)2(123i4ii2)(284i21i3i2)2(117i)25(1i)4739i.(4)原式(1i)231i1i(1i)23 1i1i834i1i21i34ii(2i)3i(2i)3(i)82i1ii881616i16i.课堂讲练互动课前探究学习规律方法(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法
7、则进行，注意要把i2化为1，进行最后结果的化简复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)(2)对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果比如下列结果，要记住：1ii；1i1ii；1i1ii；abii(bai)课堂讲练互动课前探究学习【变式 1】计算下列各题：(1)1i(2 2i)511i41i1i7；(2)32 12i 1222i1 3i8.解(1)1i(2 2i)511i41i1i7i(2)5(1i)22(1i)11i2 2i7
8、16 2(1i)14i课堂讲练互动课前探究学习16 214(16 21)i.(2)32 12i 1222i1 3i8(i)12 32 12i 121i12 32 i8课堂讲练互动课前探究学习12 32 i 121i2412 32 i12 32 i 3 312 32 i 3 4(88 3i)188 3i78 3i.课堂讲练互动课前探究学习题型二 共轭复数的概念及其应用【例 2】设 P，Q 是复平面上的点集，Pz|z z3i(z z)50，Qw|w2iz，zP(1)P，Q 分别表示什么曲线？(2)设 z1P，z2Q，求|z1z2|的最大值与最小值思路探索课堂讲练互动课前探究学习解(1)设 zxyi
9、(x，yR)则集合P(x，y)|x2y26y50(x，y)|x2(y3)24，故 P 表示以(0,3)为圆心，2 为半径的圆设 wabi(a，bR)zx0y0iP(x0，y0R)且 w2iz.则a2y0，b2x0.将x012b，y012a代入 x20(y03)24，课堂讲练互动课前探究学习得(a6)2b216.故 Q 表示以(6,0)为圆心，4 为半径的圆(2)|z1z2|表示分别在圆 P，Q 上的两个动点间的距离，又圆心距|PQ|3 524，故|z1z2|最大值为 63 5，最小值为 3 56.课堂讲练互动课前探究学习规律方法(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭
10、复数是它本身，即 z zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数(3)若 z0 且 z z0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数课堂讲练互动课前探究学习【变式 2】已知复数 z 的共轭复数为 z，且 z z3iz 1013i，求 z.解 设 zxyi(x，yR)，则 zxyi，由已知，得(xyi)(xyi)3i(xyi)1013i，x2y23xi3y1013i10，x2y23y3xi13i，x2y23y1，3x3，x1，y0或y3.z1 或 z13i.课堂讲练互动课前探究学习题型三 复数的乘方运算【例 3】计算(1)1ii2i3i2 010；(2)22i121 3i92 3i
11、10012 3i100.(1)可利用等比数列的前 n 项和公式；(2)注意到式中隐含 1i，12 32 i，故可考虑利用(1i)22i，以及 12 32 i 的运算性质简化运算，但需先对式子变形课堂讲练互动课前探究学习规范解答(1)法一 inin1in2in30，nN*.(3 分)1ii2i3i2 010(1ii2)(i3i4i5i6)(i7i8i9i10)(i2 007i2 008i2 009i2 010)1ii2i.(6 分)法二 原式11i2 0111i1i31i 1i1i1i21i1ii.(6 分)(2)原式2121i122912 32 i 9i2 3100ii2 31002122i6
12、2933i2 3100i100i2 31002326i613 1i100291511.(12 分)课堂讲练互动课前探究学习【题后反思】(1)复数的乘除法运算中，常考查in的周期性，要熟记i的周期性：i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1，nN；inin1in2in30(nN)(2)复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)；再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)课堂讲练互动课前探究学习【变式 3】计算1i1i 1i1i21i1i31i1i10.解 1i1i1i21i1ii，原式ii2i3i10i12310i55i3i.课堂讲练互动课前探究学习误区警示 记错 i2 值而致错【示例】设复数 z 满足12izi，则 z()A2i B2iC2i D2i错解 设复数 zabi(a，bR)满足12izi，所以 12iaib.解得a2，b1，所以 z2i，故选 D 项将 i21 当成 i21 来运算漏掉负号课堂讲练互动课前探究学习在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用正解 设复数 zabi(a，bR)满足12izi，所以 12iaib.解得a2，b1，所以 z2i，故选 C 项
