1、课堂讲练互动课前探究学习14 定积分与微积分基本定理14.1 曲边梯形面积与定积分课堂讲练互动课前探究学习【课标要求】1了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法2会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程3了解定积分的概念4了解定积分的几何意义和性质【核心扫描】1“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查(热点)2学会求定积分(重难点)课堂讲练互动课前探究学习自学导引1曲边梯形 曲线与平行于y轴的直线和，称为曲边梯形x轴所围成的图形课堂讲练互动课前探究学习2求曲边梯形面积的方法把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些对每个“以直代曲”，即用的面积近似代替的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似
2、值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值小曲边梯形小曲边梯形矩形小曲边梯形课堂讲练互动课前探究学习想一想：求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小课堂讲练互动课前探究学习3一般函数定积分的定义 设函数 yf(x)定义在区间a，b上，如图，用分点 ax0 x1x2xn1xnb把区间a，b分为 n 个小区间，其长度依次为 xi，i0,1,2，n1.记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0 时，所有的小区间长度都趋近于
3、 0.在每个小区间内任取一点 i，作和式 Ini0n1f(i)xi.xi1xi课堂讲练互动课前探究学习当 0 时，如果和式的极限存在，我们把叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dxli mni0n1f(i)xi.其中 f(x)叫做，a 叫，b 叫，f(x)dx 叫做被积式，此时称函数 f(x)在区间a，b上可积和式In的极限被积函数积分下限积分上限课堂讲练互动课前探究学习4根据定积分的定义，曲边梯形的面积 S 等于其曲边所对应的函数 yf(x)在区间a，b上的定积分，即 Sabf(x)dx.课堂讲练互动课前探究学习5定积分的几何意义如果在区间a，b上函
4、数 f(x)连续且恒有 f(x)0，那么定积分abf(x)dx 表示由，和 yf(x)所围成的曲边梯形的面积想一想：当 f(x)在区间a，b上且 f(x)0 时，abf(x)dx 表示的含义是什么？提示 当 f(x)在区间a，b上值小于零时，abf(x)dx 表示由 yf(x)，xa，xb，y0 所围成的图形的面积的相反数直线xaxby0课堂讲练互动课前探究学习6定积分的性质课堂讲练互动课前探究学习名师点睛1求曲边梯形面积的方法与步骤(1)分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图)；(2)近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形
5、的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图)；课堂讲练互动课前探究学习(3)求和：把近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；(4)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积课堂讲练互动课前探究学习2求汽车做变速运动的路程的步骤(1)分割在给定时间区间0,1上等间隔地插入 n1 个分点，将它等分成 n 个小区间若记第 i 个区间为i1n，in(i1,2，n)其长度为 tini1n 1n.则第i个区间的路程为Siv(ti)t.则显然有Si1nSi.课堂讲练互动课前探究学习(2)近似代替当 n时，即 t0，则 v(t)的值变化很小，近似地等于
6、一个常数，从而可以在局部小范围内“以匀速代变速”(3)求和 Sni1nSi.(4)取极限 当 n时，即 t0 时，从而有 S.课堂讲练互动课前探究学习3正确理解定积分的概念(1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间速度坐标系中的曲边梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义课堂讲练互动课前探究学习(2)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即(称为积分形式的不变性)，
7、另外定积分与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得的值也就不同，例如的值就不同课堂讲练互动课前探究学习题型一 求曲边梯形的面积【例1】求抛物线f(x)1x2与直线x0，x1，y0所围成的曲边梯形的面积S.思路探索 要求这个曲边梯形的面积，可以按分割，近似代替、求和、取极限四个步骤进行课堂讲练互动课前探究学习解(1)分割：把区间0,1等分成 n 个小区间i1n，in(i1,2，n)，其长度 x1n，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，其面积记为Si(i1,2，n)(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积Sifi1nx1i1n2 1n(i1,2，n)(3)求和：i1nSii1n 1
8、n1i1n2.课堂讲练互动课前探究学习(4)取极限：Slimni1n 1n1i1n21limni1ni1n21n1limn1311n 1 12n11343.所以所求的曲边梯形的面积为43.课堂讲练互动课前探究学习规律方法分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：思想：以直代曲；步骤：化整为零以直代曲积零为整无限逼近；关键：以直代曲；结果：分割越细，面积越精确课堂讲练互动课前探究学习【变式 1】用定积分的定义求由 y3x，x0，x1，y0 围成的图形的面积解(1)分割：把区间0,1等分成 n 个小区间i1n，in(i1,2，n)其长度为 x1n，把
9、三角形分成一个小三角形和(n1)个小梯形，其面积分别记为 Si(i1,2，n)(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取 ii1n(i1,2，n)，课堂讲练互动课前探究学习则 Sifi1nx3i1n 1n 3n2(i1)(i1,2，n)(3)作和：i1nSii1n3n2(i1)3n2012(n1)32n1n.(4)取极限：Slimni1n3n2(i1)limn32n1n 32.课堂讲练互动课前探究学习题型二 利用定积分定义计算定积分【例2】利用定积分定义计算(1x)dx的值思路探索 将区间1,2等分为n个小区间，然后用小矩形的面积近似替代小梯形的面积，再求其和，最后对其和取极
10、限即得所求定积分课堂讲练互动课前探究学习解(1)分割：f(x)1x 在区间1,2上连续，将区间1,2分成 n等份，则每个区间长度为 xi1n，(2)近似替代：在xi1，xi1i1n，1in上取 ixi11i1n(i1,2,3，n)，于是 f(i)f(xi1)11i1n 2i1n，课堂讲练互动课前探究学习(3)求和：从而i1nf(1)xii1n(2i1n)1ni1n(2ni1n2)2nn 1n2012(n1)2 1n2nn122n12n，(4)取极限：1(1x)dx(2n12n)21252.课堂讲练互动课前探究学习规律方法(1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解
11、，用定积分的定义求定积分的步骤是：分割，近似代替，求和，取极限(2)在每个小区间xi1，xi上对i的选取是任意的，为了计算方便，i可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)课堂讲练互动课前探究学习【变式 2】利用定积分的定义，计算(3x2)dx 的值解 令 f(x)3x2.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入 n1 个分点，把区间1,2等分成 n个小区间ni1n，nin(i1,2，n)，每个小区间的长度为xnin ni1n1n.课堂讲练互动课前探究学习(2)近似代替、求和取 ini1n(i1,2，n)，则 Sni1nf(ni1n)xi1n3ni1n21ni1n3i1n25n课堂讲练互动课前探
12、究学习5 3n2012(n1)32n2nn2 5132 32n.(3)取极限 (3x2)dx(132 32n)132.课堂讲练互动课前探究学习题型三 定积分几何意义的应用【例3】用定积分的意义求下列各式的值课堂讲练互动课前探究学习规范解答(1)由直线 x1，x3，y0 以及 y3x1 所围成的图形，如图所示：(2 分)(3x1)dx 表示由直线 x1，x3，y0 以及 y3x1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下方的面积，(4 分)(3x1)dx12313(331)12131 2503 2316.(6 分)课堂讲练互动课前探究学习(2)由 y 1x2可知，x2y21，(y0)图象
13、如图，由定积分的几何意义知等于圆心角为 120的弓形 CED 的面积与矩形 ABCD 的面积之和(8 分)S 弓形12231221211sin3cos33 34，(10 分)S 矩形|AB|BC|2 32 12 32，(11 分)3 34 32 3 34.(12 分)课堂讲练互动课前探究学习【题后反思】(1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：准确画出各曲线围成的平面区域；把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；根据积分的性质写出结果(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几
14、何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定课堂讲练互动课前探究学习【变式3】利用定积分的几何意义求：课堂讲练互动课前探究学习解(1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为 2 的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有(2)被积函数为 y 1x2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一的圆，由定积分的几何意义可知，所求的定积分即为该四分之一圆的面积课堂讲练互动课前探究学习方法技巧 无限逼近的思想求曲边梯形的面积求定积分四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限，关键环节是求和体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，求得整体图形的面积课堂讲练互
15、动课前探究学习【示例】如图所示，求图中曲边梯形的面积(只要求写出极限形式)课堂讲练互动课前探究学习思路分析 分割区间 近似代替 求和 取极限解(1)分割：如图所示，将区间a，b任意分割成 n 个小区间，其分点记为：x1，x2，xn1，x0a，xnb，即 x0ax1x2xn1xnb，每个区间记为xi1，xi(i1,2，n)课堂讲练互动课前探究学习(2)近似代替：在每个小区间上任取一点，记为 i(xi1ixi)，并记xixixi1.以小区间长度 xi 为底，f(i)为高的小矩形面积为f(i)xi，设小曲边梯形面积为 Ai(i1,2，n)，则有 Aif(i)xi(i1,2，n)(3)求和：将所有 n 个小矩形面积加起来，得Snf(1)x1f(2)x2f(n)xni1nf(i)xi.课堂讲练互动课前探究学习(4)取极限：如果分点的数目无限增多，且每个小区间的长度趋近于零时，和式的极限存在，则和式的极限就是所求曲边梯形的面积 S.即 Slimni1nf(i)xi.方法点评 利用无限逼近的思想先分割，用小矩形面积近似代替曲边梯形面积，分割越细，所求的近似值就越接近于曲边梯形面积的真实值，通过求极限，就可以得到所求面积的真实值，这种方法称为微分法
