1、2023届高考复习解析几何微专题圆锥曲线中的探索性问题（学生版）圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则
2、，元素(点、直线、曲线或参数)不存在反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法例1 (2022广东省高三新高考测评)设双曲线C：y21，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点(1)求直线l倾斜角的取值范围；(2)直线l交直线x于点P，且点A在点P，F之间，试判断是否为定值，并证明你的结论跟踪练习1、(2021陕西西安八校联考)已知F为抛物线C：x22py(p0)的焦点，点M(m,1)在抛物线上，且|MF|.直线l：ykx2与抛物线C交于A、B两点(1)求抛物线C的方程；(2)设O为坐标原点，y轴上是否存在点P，使得当k变化时，总有OPAOPB？若存在，求出点P的坐标；若不存在
3、，请说明理由2、已知圆C：(x1)2y2，一动圆与直线x相切且与圆C外切(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NANB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由3、已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点P，其渐近线方程为yx(1)求双曲线C的标准方程；(2)双曲线C上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由4、如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4(1)求椭圆C的方程；(2)AB是
4、经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由5、已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足0，|PF1|PF2|6(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线l交双曲线于A，B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m,0)，使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由6、已知抛物线D的顶点是椭圆1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合(1)求抛物线D的方程；(2)已知动直线l过点P(4,0)
5、，交抛物线D于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由7、已知双曲线C1：1与C2：1有相同的渐近线，点F为C1的右焦点，A，B为C1的左、右顶点(1)求双曲线C1的标准方程；(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN斜率分别为k1，k2，是否存在实数使得k1k2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2023届高考复习解析几何微专题圆锥曲线中的探索性问题（解析版）圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不
6、存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法例1 (2022广东省高三新高考测评)设双曲线C：y21，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B
7、两点(1)求直线l倾斜角的取值范围；(2)直线l交直线x于点P，且点A在点P，F之间，试判断是否为定值，并证明你的结论解：(1)由双曲线C：y21得c2314，则右焦点F，显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为xmy2，由得y24my10，因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设A，B，16m240，y1y2，y1y2，则解得m或k，综上，直线l倾斜角的取值范围为.(2)是定值证明如下：由得P，不妨假设y100)的焦点，点M(m,1)在抛物线上，且|MF|.直线l：ykx2与抛物线C交于A、B两点(1)求抛物线C的方程；(2)设O为坐标原点，y轴上是否存在点P，使得当k变化时，总有OPA
8、OPB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)根据抛物线的定义，得1，解得p.抛物线C的方程为x2y.(2)在y轴上存在点P，使得当k变化时，总有OPAOPB理由如下：设P(0，b)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，得2x2kx20.且k2160恒成立x1x2，x1x21.y12x，y22x.OPAOPB时，直线PA和直线PB的倾斜角互补，故其斜率互为相反数kPAkPB0，x22xbx2x12xbx10，即0，0，得b2，即点P的坐标为(0，2)所以，y轴上存在点P(0，2)，使得当k变化时，总有OPAOPB2、已知圆C：(x1)2y2，一动圆与直线x相切且与圆C外
9、切(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NANB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由解：(1)设P(x，y)，则由题意得，|PC|，即x1，化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y24x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意，设直线l的方程为xmy6，联立抛物线方程可得y24my240，16m2960，y1y24m，y1y224，x1x24m212，x1x236，假设存在N(x0，y0)，使得NANB，则y02m，x0m2，0，(x1m2y
10、12m)(x2m2y22m)0，代入化简可得(m26)(3m22)0，m，存在直线l：xy6，使得NANB3、已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点P，其渐近线方程为yx(1)求双曲线C的标准方程；(2)双曲线C上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由解：(1)由双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为yx，可设双曲线的标准方程为2x2y2，将P代入双曲线方程，可得2，所以双曲线C的标准方程为x21(2)假设双曲线C上存在被点B(1,1)平分的弦，记弦所在的直线为l设B(1,1)是弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22，y
11、1y22因为点M，N在双曲线C上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即两式相减得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以4(x1x2)2(y1y2)，所以直线l的斜率kMN2，所以直线l的方程为y12(x1)，即2xy10联立直线l与双曲线C的方程，得消去y，得2x24x30，1642380，所以直线l与双曲线C无交点，所以直线l不存在，故不存在被点B(1,1)平分的弦4、如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3
12、问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：(1)由椭圆C：1(ab0)经过点P，可得1(ab0)，由离心率e得，即a2c，则b23c2，代入解得c1，a2，b，故椭圆的方程为1(2)法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1并整理得(4k23)x28k2x4k2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，在方程中，令x4得，M的坐标为(4,3k)，从而k1，k2，k3k，注意到A，F，B共线，则有kkAFkBF，即有k，所以k1k22k，代入得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3，故存在常数
13、2符合题意法二：设B(x0，y0)(x01)，则直线FB的方程为y(x1)，令x4，求得M，从而直线PM的斜率为k3，联立得A，则直线PA的斜率k1，直线PB的斜率为k2，所以k1k222k3，故存在常数2符合题意5、已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足0，|PF1|PF2|6(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线l交双曲线于A，B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m,0)，使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由解：(1)由e2得c2a，ba，0，PF1PF2，在RtF1PF2中，由|PF1|PF2
14、|2a得：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2，代入|PF1|2|PF2|24c2，|PF1|PF2|6得：4c2124a2，解得b23，a21，双曲线方程为x21(2)当l斜率为0时，l：y0，此时A(1,0)，B(1,0)，由Q(m,0)得m21；当l斜率不为0时，设l：xty2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(3t21)y212ty90，则36t2360，y1y2，y1y2，(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(ty12m)(ty22m)y1y2(t21)y1y2(2m)t(y1y2)(2m)2(t21)(2m)t(2m)2，令m21，即
15、9(t21)12t2(2m)(4m5)(3t21)，化简得m10，解得m1，则Q(1,0)，此时0综上所述，存在m1，使得06、已知抛物线D的顶点是椭圆1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合(1)求抛物线D的方程；(2)已知动直线l过点P(4,0)，交抛物线D于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解：(1)由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，由椭圆1知，c2a2b2431，所以c1，抛物线的焦点为(1,0)，1，即p2，抛物线D的方程为y24x(2)设存在直线m：xa满足题意，A(x1，y1)，则圆心M，过
16、M作直线xa的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得|EG|2|MG|2|ME|2, 即|EG|2|MA|2|ME|22ya(x14)a2x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2，当a3时，|EG|23，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2，因此存在直线m：x3满足题意7、已知双曲线C1：1与C2：1有相同的渐近线，点F为C1的右焦点，A，B为C1的左、右顶点(1)求双曲线C1的标准方程；(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN斜率分别为k1，k2，是否存在实数使得k1k2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)因为C2的渐近线为yx，所以，因为c2，所以a1，b，所以双曲线C1的标准方程x21.(2)存在由已知，A，B，M，N，l过点F与右支交于M，N两点，则l的斜率不为零，设l：xmy2，由消元得y212my90，因为l与双曲线右支交于两点，所以，解得m，249360，所以y1y2，y1y2，因为k1，k20，所以，因为，所以my1y2，所以，所以存在使得k1k2.
