1、32一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法(一)1.了解一元二次不等式的有关概念2.理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系3掌握一元二次不等式的基本解法，并能解决一些实际问题,学生用书P46)1一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx1或xx2x|xx1Rax2bxc0 (a0)
2、的解集x|x1xx21判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)mx25x0，则一元二次不等式ax210无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0的解集为R.()解析：(1)错误当m0时，是一元一次不等式；当m0时，是一元二次不等式(2)错误因为a0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误当a0时，ax2bxc0的解集为x|x1xx2，否则不成立(4)正确因为(2)2120的解集为R.答案：(1)(2)(3)(4)2设集合Mx|x2x0，Nx|x24，则MN_解析：Mx|x2x
3、0x|0x1，Nx|x24x|2x2故MNx|2x2答案：x|2x23不等式x22x52x的解集是_解析：由x22x52x，得x24x50，因为x24x50的两根为1，5，故x24x50的解集为x|x1或x5答案：x|x5或x14不等式3x25x40的解集为_解析：原不等式变形为3x25x40.因为(5)2434230，所以3x25x40无解由函数y3x25x4的图象可知，3x25x40的解集为.答案：解不含参数的一元二次不等式学生用书P46解下列不等式(1)2x25x30；(4)x26x100.【解】(1)490，方程2x25x30的两根为x13，x2，作出函数y2x25x3的图象如图所示，
4、用阴影部分描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x26x20.因为120，解方程3x26x20，得x1，x2，作出函数y3x26x2的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为.(3)因为0，所以方程4x24x10有两相等实根x1x2.作出函数y4x24x1的图象如图所示，由图可得原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100，因为40，所以原不等式的解集为.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式
5、的解集 1.求下列不等式的解集(1)2x27x30；(2)x28x30；(3)x24x50；(4)4x218x0；(5)2x23x20，所以方程2x27x30有两个不等实根x13，x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)因为824(1)(3)520，所以方程x28x30有两个不等实根x14，x24.又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(4)原不等式可化为0，所以原不等式的解集为.(5)原不等式可化为2x23x20，因为942270，所以方程2x23x20无实根，又二次
6、函数y2x23x2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.含参数的一元二次不等式的解法学生用书P47解关于x的不等式x2x10.【解】原不等式可化为(xa)，即1a1，此时，原不等式的解集为；(2)若a，即a1或a1，此时，原不等式的解集为；(3)若a，即0a1或a1，此时，原不等式的解集为.综上所述，当1a1时，原不等式的解集为；当a1或a1时，原不等式的解集为；当0a1或a0时，讨论相应一元二次方程两根的大小简记为“一a、二、三两根大小”(4)最后对系数中的参数进行完全分类，即将(，)分成若干区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集 2.解关于x的不等式：ax2(a1
7、)x10)解：因为a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0，得x1；当0a1，解(x1)0，得1x.综上所述，当0a1时，原不等式的解集为.三个“二次”关系的应用学生用书P47若关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集【解】由题意知所以代入不等式cx2bxa0中得ax2axa0(a0)即x2x10，化简得x25x60，所以所求不等式的解集为x|3x0的解集为x|2x0的解集解：由题意知即代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0)即6x25x10，解得x(，0的二次函数为例)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集，即二次函数yax2bxc(a
8、0)的值满足y0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数yax2bxc0(a0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标(2)从方程的角度看设一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2，x|x1xx2(x10(a0)的解集为R时，意味着ax2bxc0恒成立，由图象可知，关于这类问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必利用最值转化的思路求解解关于x的不等式ax222xax(aR)解原不等式可变形为ax2(a2)x20，(1)当a0时，原不等式的解集为x|x1；(2)当a0时，原不等式可变形为(ax
9、2)(x1)0，方程(ax2)(x1)0的解为x1，x21.当a0时，1，所以原不等式的解集为；当a0时，a当2a0时，1，所以原不等式的解集为；b当a2时，原不等式的解集为x|x1；c当a1，所以原不等式的解集为.综上：当a0时，原不等式的解集为x|x1；当a0时，原不等式的解集为；当2a0时，原不等式的解集为；当a2时，原不等式的解集为x|x1；当a2时，原不等式的解集为.含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论要求转化必到位，过早或过晚讨
10、论都会使问题更加复杂化(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论若把握不好这个“点”，问题就不能顺利解决(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论1不等式6x2x20的解集为_解析：因为6x2x20(2x1)(3x2)0，所以原不等式的解集为.答案：2不等式2x2x10，得(x1)(2x1)0，解得x1或x，从而得原不等式的解集为(1，)答案：(1，)3设a1，则关于x的不等式a(xa)0的解集为_解析：因为a1，所以a(xa)0.又aa，所以x或x0；x26x100；2x23x40，解集不为R；中624100.满足条件；中不等式可化2x23x30所对应的二次函数开口向上，
11、显然不可能答案：2不等式3x2x60的解集为_解析：原不等式可化为3x2x60，14360，所以不等式的解集为R.答案：R3不等式组的解集为_解析：原不等式组可化为解得0x1.答案：x|0x14已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是_解析：由题意，是方程ax2bx10的两实根，所以解得所以x2bxa0x25x602x3.答案：(2，3)5在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围为_解析：由abab2ab，得x(x2)x(x2)2xx2x2x20，所以2x1.答案：(2，1)6设0b(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为_解析：原
12、不等式转化为(1a)xb(1a)xb0.当a1时，结合不等式解集形式知不符合题意；当a1时，x，由题意知01，所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需32.整理，得2a2b3a3.结合题意b1a，有2a21a.所以a3，从而有1a0的解集为x|x4，那么对于函数f(x)ax2bxc，f(1)，f(2)，f(5)的大小关系是_解析：由ax2bxc0的解集为x|x4，知a0，且2，4是方程ax2bxc0的两实根，所以所以f(x)ax22ax8aa(x2)(x4)，因为a0，所以f(x)的图象开口向上又对称轴为x1，f(x)的图象如图所示，由图可得f(2)f(1)f(5)答案：f(2)f(1)f
13、(5)8已知方程mx22(m2)x(m5)0有两个不同的正根，则m的取值范围是_解析：当m0时，显然不符合题意当m0时，原方程x2x0.设f(x)x2x，由题意有解之得0m4或m5.答案：(，5)(0，4)9解下列不等式：(1)23x2x20；(2)x(3x)x(x2)1；(3)x22x30.解：(1)原不等式可化为2x23x20，所以(2x1)(x2)0，故原不等式的解集是.(2)原不等式可化为2x2x10，所以(2x1)(x1)0，故原不等式的解集为.(3)因为(2)24380，故原不等式的解集是R.10解关于x的不等式：x2(mm2)xm30.解：原不等式化为(xm)(xm2)0.(1)
14、当m1时，m2m，解集为(m，m2)；(2)当m0或m1时，m2m，解集为；(3)当0m1时，m2m，解集为(m2，m)综上所述，当m1时，原不等式的解集为(m，m2)；当m0或m1时，原不等式的解集为；当0m1时，原不等式的解集为(m2，m)B能力提升1若关于x的不等式x23xt0的解集为x|1xm，xR，则tm_解析：因为不等式x23xt0的解集为x|1xm，xR，所以1，m是方程x23xt0的两根，所以，解得.所以tm4.答案：42对于实数x，规定x表示不大于x的最大整数，那么不等式4x236x450的解集为_解析：由题意解得x，又x表示不大于x的最大整数，所以x的取值为2，3，4，5，6，7，故2x2.当1x2时，y0.所以当x1，2时，y0.综上可知，函数f(x)的值域为(2，)4(选做题)已知不等式mx2nx0，其中a是实数解：(1)由不等式mx2nx0的解集为，得方程mx2nx0的两根为，2，且m0，即x(2a1)(x1)0，而方程x(2a1)(x1)0的两根为x12a1，x21，当2a11，即a1时，原不等式的解集为x|2a1x1，即a1时，原不等式的解集为x|1x2a1综上，当a1时，原不等式的解集为x|1x2a1，当a1时，原不等式的解集为，当a1时，原不等式的解集为x|2a1x1
