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2019-2020学年苏教版数学必修五新素养同步讲义:3.2第1课时一元二次不等式及其解法(一) WORD版含答案.doc

1、32一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法(一)1.了解一元二次不等式的有关概念2.理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系3掌握一元二次不等式的基本解法,并能解决一些实际问题,学生用书P46)1一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx1或xx2x|xx1Rax2bxc0 (a0)

2、的解集x|x1xx21判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)mx25x0,则一元二次不等式ax210无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1,x2(x1x2),则一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0的解集为R.()解析:(1)错误当m0时,是一元一次不等式;当m0时,是一元二次不等式(2)错误因为a0,所以不等式ax210恒成立,即原不等式的解集为R.(3)错误当a0时,ax2bxc0的解集为x|x1xx2,否则不成立(4)正确因为(2)2120的解集为R.答案:(1)(2)(3)(4)2设集合Mx|x2x0,Nx|x24,则MN_解析:Mx|x2x

3、0x|0x1,Nx|x24x|2x2故MNx|2x2答案:x|2x23不等式x22x52x的解集是_解析:由x22x52x,得x24x50,因为x24x50的两根为1,5,故x24x50的解集为x|x1或x5答案:x|x5或x14不等式3x25x40的解集为_解析:原不等式变形为3x25x40.因为(5)2434230,所以3x25x40无解由函数y3x25x4的图象可知,3x25x40的解集为.答案:解不含参数的一元二次不等式学生用书P46解下列不等式(1)2x25x30;(4)x26x100.【解】(1)490,方程2x25x30的两根为x13,x2,作出函数y2x25x3的图象如图所示,

4、用阴影部分描出原不等式的解,由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x26x20.因为120,解方程3x26x20,得x1,x2,作出函数y3x26x2的图象,如图所示,由图可得原不等式的解集为.(3)因为0,所以方程4x24x10有两相等实根x1x2.作出函数y4x24x1的图象如图所示,由图可得原不等式的解集为.(4)原不等式可化为x26x100,因为40,所以原不等式的解集为.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式

5、的解集 1.求下列不等式的解集(1)2x27x30;(2)x28x30;(3)x24x50;(4)4x218x0;(5)2x23x20,所以方程2x27x30有两个不等实根x13,x2.又二次函数y2x27x3的图象开口向上,所以原不等式的解集为.(2)因为824(1)(3)520,所以方程x28x30有两个不等实根x14,x24.又二次函数yx28x3的图象开口向下,所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为(x5)(x1)0,所以原不等式的解集为x|1x5(4)原不等式可化为0,所以原不等式的解集为.(5)原不等式可化为2x23x20,因为942270,所以方程2x23x20无实根,又二次

6、函数y2x23x2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.含参数的一元二次不等式的解法学生用书P47解关于x的不等式x2x10.【解】原不等式可化为(xa),即1a1,此时,原不等式的解集为;(2)若a,即a1或a1,此时,原不等式的解集为;(3)若a,即0a1或a1,此时,原不等式的解集为.综上所述,当1a1时,原不等式的解集为;当a1或a1时,原不等式的解集为;当0a1或a0时,讨论相应一元二次方程两根的大小简记为“一a、二、三两根大小”(4)最后对系数中的参数进行完全分类,即将(,)分成若干区间,根据相应二次函数在各个区间的值,写出一元二次不等式的解集 2.解关于x的不等式:ax2(a1

7、)x10)解:因为a0,原不等式等价于(x1)0.当a1时,1,(x1)1时,1,解(x1)0,得x1;当0a1,解(x1)0,得1x.综上所述,当0a1时,原不等式的解集为.三个“二次”关系的应用学生用书P47若关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集【解】由题意知所以代入不等式cx2bxa0中得ax2axa0(a0)即x2x10,化简得x25x60,所以所求不等式的解集为x|3x0的解集为x|2x0的解集解:由题意知即代入不等式cx2bxa0,得6ax25axa0(a0)即6x25x10,解得x(,0的二次函数为例)一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集,即二次函数yax2bxc(a

8、0)的值满足y0时的自变量x组成的集合,亦即二次函数yax2bxc0(a0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合,一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标(2)从方程的角度看设一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分别为x|xx2,x|x1xx2(x10(a0)的解集为R时,意味着ax2bxc0恒成立,由图象可知,关于这类问题只需考虑开口方向和判别式即可,而不必利用最值转化的思路求解解关于x的不等式ax222xax(aR)解原不等式可变形为ax2(a2)x20,(1)当a0时,原不等式的解集为x|x1;(2)当a0时,原不等式可变形为(ax

9、2)(x1)0,方程(ax2)(x1)0的解为x1,x21.当a0时,1,所以原不等式的解集为;当a0时,a当2a0时,1,所以原不等式的解集为;b当a2时,原不等式的解集为x|x1;c当a1,所以原不等式的解集为.综上:当a0时,原不等式的解集为x|x1;当a0时,原不等式的解集为;当2a0时,原不等式的解集为;当a2时,原不等式的解集为x|x1;当a2时,原不等式的解集为.含有参数的一元二次不等式,因为含有参数,便大大增加了问题的复杂程度分类讨论是解决这类问题的主要方法,确定分类讨论的标准时,要着重处理好以下三点:(1)讨论的“时刻”,即在什么时候才开始进行讨论要求转化必到位,过早或过晚讨

10、论都会使问题更加复杂化(2)讨论的“点”,即以哪个量为标准进行讨论若把握不好这个“点”,问题就不能顺利解决(3)考虑要周到,即讨论对象的各种情况都要加以分析,给出结论1不等式6x2x20的解集为_解析:因为6x2x20(2x1)(3x2)0,所以原不等式的解集为.答案:2不等式2x2x10,得(x1)(2x1)0,解得x1或x,从而得原不等式的解集为(1,)答案:(1,)3设a1,则关于x的不等式a(xa)0的解集为_解析:因为a1,所以a(xa)0.又aa,所以x或x0;x26x100;2x23x40,解集不为R;中624100.满足条件;中不等式可化2x23x30所对应的二次函数开口向上,

11、显然不可能答案:2不等式3x2x60的解集为_解析:原不等式可化为3x2x60,14360,所以不等式的解集为R.答案:R3不等式组的解集为_解析:原不等式组可化为解得0x1.答案:x|0x14已知不等式ax2bx10的解集是,则不等式x2bxa0的解集是_解析:由题意,是方程ax2bx10的两实根,所以解得所以x2bxa0x25x602x3.答案:(2,3)5在R上定义运算:abab2ab,则满足x(x2)0的实数x的取值范围为_解析:由abab2ab,得x(x2)x(x2)2xx2x2x20,所以2x1.答案:(2,1)6设0b(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则a的取值范围为_解析:原

12、不等式转化为(1a)xb(1a)xb0.当a1时,结合不等式解集形式知不符合题意;当a1时,x,由题意知01,所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需32.整理,得2a2b3a3.结合题意b1a,有2a21a.所以a3,从而有1a0的解集为x|x4,那么对于函数f(x)ax2bxc,f(1),f(2),f(5)的大小关系是_解析:由ax2bxc0的解集为x|x4,知a0,且2,4是方程ax2bxc0的两实根,所以所以f(x)ax22ax8aa(x2)(x4),因为a0,所以f(x)的图象开口向上又对称轴为x1,f(x)的图象如图所示,由图可得f(2)f(1)f(5)答案:f(2)f(1)f

13、(5)8已知方程mx22(m2)x(m5)0有两个不同的正根,则m的取值范围是_解析:当m0时,显然不符合题意当m0时,原方程x2x0.设f(x)x2x,由题意有解之得0m4或m5.答案:(,5)(0,4)9解下列不等式:(1)23x2x20;(2)x(3x)x(x2)1;(3)x22x30.解:(1)原不等式可化为2x23x20,所以(2x1)(x2)0,故原不等式的解集是.(2)原不等式可化为2x2x10,所以(2x1)(x1)0,故原不等式的解集为.(3)因为(2)24380,故原不等式的解集是R.10解关于x的不等式:x2(mm2)xm30.解:原不等式化为(xm)(xm2)0.(1)

14、当m1时,m2m,解集为(m,m2);(2)当m0或m1时,m2m,解集为;(3)当0m1时,m2m,解集为(m2,m)综上所述,当m1时,原不等式的解集为(m,m2);当m0或m1时,原不等式的解集为;当0m1时,原不等式的解集为(m2,m)B能力提升1若关于x的不等式x23xt0的解集为x|1xm,xR,则tm_解析:因为不等式x23xt0的解集为x|1xm,xR,所以1,m是方程x23xt0的两根,所以,解得.所以tm4.答案:42对于实数x,规定x表示不大于x的最大整数,那么不等式4x236x450的解集为_解析:由题意解得x,又x表示不大于x的最大整数,所以x的取值为2,3,4,5,6,7,故2x2.当1x2时,y0.所以当x1,2时,y0.综上可知,函数f(x)的值域为(2,)4(选做题)已知不等式mx2nx0,其中a是实数解:(1)由不等式mx2nx0的解集为,得方程mx2nx0的两根为,2,且m0,即x(2a1)(x1)0,而方程x(2a1)(x1)0的两根为x12a1,x21,当2a11,即a1时,原不等式的解集为x|2a1x1,即a1时,原不等式的解集为x|1x2a1综上,当a1时,原不等式的解集为x|1x2a1,当a1时,原不等式的解集为,当a1时,原不等式的解集为x|2a1x1

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