1、热点题型探究高考命题视角专题限时集训第 10 讲 高考中的三角函数题型一|三角恒等变换(2016南京盐城二模)已知 为锐角，cos4 55.(1)求 tan4 的值；(2)求 sin23 的值解(1)因为 0，2，所以 44，34，所以 sin4 1cos24 2 55，3 分所以 tan4 sin4cos42.6 分(2)因为 sin22 sin24 2sin4 cos4 45，9 分cos22 cos24 2cos24 135，12 分所以 sin23 sin22 6 sin22 cos6cos22 sin64 3310.14 分【名师点评】1.本题(2)在求解中，从角“23”与角“4”的
2、关系入手，先求 cos22，再求 sin23 的值，避免了复杂的运算2三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系已知 02，tan212，cos()210.(1)求 sin 的值；(2)求 的值解(1)tan212，tan 2tan21tan22212112243.3 分由tan sin cos 43，sin2cos21，5 分解得 sin 45sin 45舍去.6 分(2)由(1)可知 cos 1sin2145235，又 02，8 分(0，)，而 cos()210，10
3、分sin()1cos2121027 210.11 分sin sin()sin cos()cos sin()45 210357 210 22.13 分又 2，故 34.14 分题型二|正、余弦定理 在ABC 中，已知ABAC3BABC.(1)求证：tan B3tan A；(2)若 cos C 55，求 A 的值解题指导(1)ABAC3BABC 数量积的定义ABACcos A3BABCcos B正弦定理证明 tan B3tan A(2)cos C 同角关系tan C 诱导公式tan(AB)正切公式tan A A的范围求 A.解(1)证明：因为ABAC3BABC，所以 ABACcos A3BABCc
4、os B，2 分即 ACcos A3BCcos B由正弦定理知 ACsin B BCsin A，从而 sin Bcos A3sin Acos B 4 分又因为 0AB0，cos B0，所以 tan B3tan A 6 分(2)因为 cos C 55，0C0，所以 tan A1，所以 A4.14 分【名师点评】求解此类问题的关键是将几何问题代数化，基本工具是正(余)弦定理若要把“边”化为“角”，常利用 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，若要把“角”化为“边”，常利用 sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R，cos Ca2b2c22ab等在锐角ABC 中，角
5、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(b2c2a2)tan A 3bc.(1)求角 A；(2)若 a2，求ABC 的面积 S 的最大值【导学号：19592032】解(1)由已知得b2c2a22bcsin Acos A 32，所以 sin A 32，4 分又因为ABC 为锐角三角形，所以 A60.6 分(2)因为 a2，A60，所以 b2c2bc4，S12bcsin A 34 bc，8 分而 b2c22bcbc42bcbc4，10 分又 S12bcsin A 34 bc 34 4 3.13 分所以ABC 的面积 S 的最大值等于 3.14 分题型三|正、余弦定理的实际应用(2016无锡期中
6、)如图 101，某自行车手从 O 点出发，沿折线 OABO 匀速骑行，其中点 A 位于点 O 南偏东 45且与点 O 相距 20 2千米该车手于上午 8 点整到达点 A,8 点 20 分骑至点 C，其中点 C 位于点 O 南偏东(45)(其中 sin 126，090)且与点 O 相距 5 13千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)图 101(1)求该自行车手的骑行速度；(2)若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E，假定以点 E 为中心的 3.5千米范围内有长时间的持续强降雨试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由解(1)由题意知，OA20 2，OC5 13，AOC，s
7、in 126.由于 090，所以 cos 112625 2626.3 分由余弦定理，得 AC OA2OC22OAOCcos 5 5.5 分所以该自行车手的行驶速度为5 51315 5(千米/小时).6 分(2)如图，设直线 OE 与 AB 相交于点 M.在AOC 中，由余弦定理，得：cosOACOA2AC2OC22OAAC20225255213220 25 53 1010，从而 sinOAC 1cos2OAC1 910 1010.9 分在AOM 中，由正弦定理，得：OMOAsinOAMsin45OAM20 2 101022 3 1010 101020.12 分由于 OE27.520OM，所以点
8、 M 位于点 O 和点 E 之间，且 MEOEOM7.5.过点 E 作 EHAB 于点 H，则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离.14 分在 RtEHM 中，EHEMsinEMHEMsinEMHEMsin(45OAC)7.5 55 3 52 3.5.所以该自行车手会进入降雨区.16 分【名师点评】借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考的一个命题热点，解题的关键是将问题转化到平面图形(如三角形、四边形等)中，然后借助正、余弦定理解题(2016扬州期中)有一块三角形边角地，如图 102，ABC 中，其中 AB8(百米)，AC6(百米)，A60.某市为迎接 2500 年城庆，欲利用这
9、块地修一个三角形形状的草坪(图中AEF)供市民休闲，其中点 E 在边 AB 上，点 F 在边 AC 上规划部门要求AEF 的面积占ABC 面积的一半，记AEF 的周长为 l(百米)图 102(1)如果要对草坪进行灌溉，需沿AEF 的三边安装水管，求水管总长度 l 的最小值；(2)如果沿AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度 l 的最大值，并确定此时 E，F 的位置解(1)设 AEx(百米)，SAEF12SABC，12AEAFsin A1212ABACsin A2 分AB8，AC6，AF24x.0 x8，024x 6，4x8.3 分在AEF 中，EF2x224x22x24x cos 60 x2
10、242x2 24，lx24x x2242x2 24，x4,8，5 分lx24x x2242x2 242 24 224246 6，当且仅当 x2 6时取“”，lmin6 6.6 分(2)由(1)知：lx24x x2242x2 24，x4,8令 tx24x，x4,8，t124x2x224x2x2 6x2 6x2.9 分列表得：x(4,2 6)2 6(2 6，8)t0t 极小值 4 6 且 x4 时，t10；x8 时，t11，则 t4 6，11lt t272在4 6，11上单调递增，当 t11 时，lmax18，此时 AE8，AF3，13 分答：水管总长度 l 的最小值为 6 6百米；当点 E 在
11、A 处，点 F 在线段 AC 的中点时，长廊总长度 l 的最大值为 18 百米.14 分命题展望从近五年的高考试题看，三角恒等变换及正、余弦定理的交汇成为江苏高考的一个测重点，该类题目侧重于学生的双基，属送分题目.2017 年该点依然是命题点应加强训练(2016江苏高考)在ABC 中，AC6，cos B45，C4.(1)求 AB 的长；(2)求 cosA6 的值解(1)因为 cos B45，0B，所以 sin B 1cos2B145235.2 分由正弦定理知 ACsin B ABsin C，所以 ABACsin Csin B 6 22355 2.4 分(2)在ABC 中，ABC，所以 A(BC
12、)，于是 cos Acos(BC)cosB4cos Bcos 4sin Bsin 4.又 cos B45，sin B35，故 cos A45 22 35 22 210.8 分因为 0A，所以 sin A 1cos2A7 210.10 分因此，cosA6 cos Acos 6sin Asin 6 210 32 7 210 127 2 620.14 分阅卷心语易错提示(1)忽视“角 A，B，C 间的关系”，导致无法求解 cos A；(2)误用“cos Acos(BC)”，导致计算失分防范措施(1)在ABC 中，其内角和 ABC，常用该条件实现角的转化(2)熟记诱导公式，在换算角的关系时，尽量少跨步
13、骤，如此题中，可这样：cos Acos(BC)cos(BC)1在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a3，b2 6，B2A.(1)求 cos A 的值；(2)求 c 的值【导学号：19592033】解(1)在ABC 中，因为 a3，b2 6，B2A，2 分故由正弦定理得 3sin A 2 6sin 2A，于是2sin Acos Asin A2 63.5 分所以 cos A 63.6 分(2)由(1)知 cos A 63，所以 sin A 1cos2A 33.7 分又因为 B2A，所以 cos Bcos 2A2cos2A113，从而 sin B 1cos2B2 23.10
14、 分在ABC 中，因为 ABC，所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B5 39.13 分因此由正弦定理得 casin Csin A 5.14 分2在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c.(1)若 sinA4 2sin A，求 A 的值；(2)若 cos A12，sin Bsin C2sin A，试判断ABC 的形状，并说明理由解(1)由题意，若 sinA4 2sin A，则 22 sin A 22 cos A 2sin A，2 分即 22 cos A 22 sin A，4 分可得 tan A1，由 A(0，)，故 A4.6 分(2)在ABC
15、中，sin Bsin C2sin A，由正弦定理可得：bc2a，8 分由 cos A12，得 cos Ab2c2a22bc12，故 b2c2a2bc，又 bc2a，10 分则(bc)2a23bc3a2，故 a2bcbc22，可得(bc)20，故 bc，13 分则 bca，故ABC 为正三角形.14 分3如图 103 是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架 OA，OB，OC两两成 120，OC1，ABOBOC，且 OAOB.现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 M，且 M 与 OB 长成正比，比例系数为 k(k 为正常数)，在AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵
16、珠宝的价值为 N，且 N 与AOC的面积成正比，比例系数为 4 3k，设 OAx，OBy.图 103(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；(2)求 NM 的最大值及相应的 x 的值解(1)因为 OAx，OBx，ABy1，1 分由余弦定理，x2y22xycos 120(y1)2，解得 yx212x，3 分由 x0，y0 得 1x2，又 xy，得 xx212x，解得 1x1 32，5 分所以 OA 的取值范围是1，1 32.6 分(2)MkOBky，N4 3kSAOC3kx，则 NMk(3xy)k3xx212x，8 分设 2xt3 32，1，则 NMk32t2t21tk104t3t k1024t3t(104 3)k.12 分当且仅当 4t3t，即 t 32 3 32，1 取等号，此时 x2 32 取等号，所以当 x2 32 时，NM 的最大值是(104 3)k.14 分专题限时集训（十一）点击图标进入
