1、专题四 函数的零点 专题四 函数的零点 主干知识整合专题四 主干知识整合 1函数的零点：使函数 yf(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 yf(x)的零点(1)函数的零点方程的根；(2)零点存在理论：在区间a，b上连续；f(a)f(b)0.专题四 主干知识整合 2常见求解方法(1)直接解方程，如一元二次方程；(2)用二分法求方程的近似解；(3)一元二次方程实根分布规律；(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点画出 yf(x)图象可用到以下方法：用图象变换法则画复杂函数图象；用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如 ylnxx；可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程 exlnx
2、1，转化为 ylnx，y1ex；如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为 mg(x)，再画 yg(x)与 ym(常数函数)的图象要点热点探究专题四 要点热点探究 探究点一 用零点存在定理判断函数零点零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值例 1 已知函数 f(x)1xx22 x33 x44 x20112011，g(x)1xx22 x33 x44 x20112011，设 F(x)f(x3)g(x3)，且函数 F(x)的零点均在区间a，b(a0，即 m14.专题四 要点热点探究 9【解析】由 F(x)f(x3)g(x3
3、)可知，函数 F(x)的零点即为 f(x3)的零点或g(x3)的零点f(x)1xx2x3x2010，当 x1 时，f(x)1xx2x3x20101x20111x 0 成立，f(1)20110；当 x0 也成立，即 f(x)1xx2x3x20100 恒成立，所以 f(x)1xx22 x33 x44 x20112011在 R 上单调递增f(0)1，f(1)(11)1213 12010 12011 0，f(x)的惟一零点在1,0内，即 f(x3)的惟一零点在4，3内同理，g(x3)的惟一零点在4,5内，因此 b5，a4，ba9.专题四 要点热点探究【点评】用零点存在定理判断零点是否存在，如果需要进一
4、步判断图象连续不断的函数的零点是否惟一，可以判断函数的单调性一般地，图象连续不断的函数 f(x)在区间(a，b)单调，且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在区间(a，b)上有惟一零点专题四 要点热点探究 探究点二 用图象判定方程的根由于函数的零点方程的根，所以当方程的根不能够直接求出时，可以通过图象来判断对应方程的根的个数例 2(1)已知函数 f(x)2xx，g(x)xlog2x，h(x)x3x 的零点依次为 a，b，c，则 a，b，c 的大小顺序为_(2)设定义在 R 上的函数 f(x)1|x3|，x3，1，x3，若关于 x 的方程 f2(x)af(x)b0 有 5 个不同实数解，则实数
5、 a 的取值范围是_专题四 要点热点探究(1)acb(2)(，2)(2，1)【解析】(1)令 f(x)0，g(x)0，h(x)0 得：2xx，log2xx，x3x，分别作出 y2x，ylog2x，yx3，yx 的图象如下：可知 a0，c0，即 ac0 且 t1 时，x 有两解又 t1t2a，所以当 t11，t2(0,1)(1，)时，原方程有 5 个解，即 a(，2)(2，1)专题四 要点热点探究【点评】(1)和(2)中的方程根都不能够解出，所以用图象进行研究比较简单第(1)题中直接画题干所给的三个函数的图象不容易，故转化为两个较为简单函数，再画图象可以判断零点大小；第(2)题中是一个符合的方程
6、，需要进行换元，分两步进行研究，一是 tf(x)；二是 t2atb0.专题四 要点热点探究 探究点三 不定方程的根的判断所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组常见问题有：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数例 3 设 mN，若函数 f(x)2xm 10 xm10 存在整数零点，则 m 的取值集合为_专题四 要点热点探究 0,3,14,30【解析】原命题等价为 f(x)2xm 10 xm100 有整根，即方程 m2x1010 x1有整数解因为 mN，所以 2x100，且 10 x
7、0，所以 x5,10，且 xZ，又 10 xZ，当 x5 时，m0；当 x1 时，m3；当 x6 时，m223(舍去)；当 x9 时，m14；当 x10 时，m30.专题四 要点热点探究【点评】含有参数的方程整数解的问题，可以考虑将参数和未知数 x 分离，再利用整除(有理、奇偶、约数)来得到参数和未知数的特征，通过逐一代入得到结果专题四 要点热点探究 探究点四 含参数的方程根的问题含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决例 4已知函数 f(x)12x2alnx(aR)(1)若函数 f(x)在 x2 处的切线方程为 yxb，求 a，
8、b 的值；(2)讨论方程 f(x)0 的解的个数，并说明理由专题四 要点热点探究【解答】(1)因为 f(x)xax(x0)，又 f(x)在 x2 处的切线方程为 yxb所以2aln22b，2a21，解得：a2，b2ln2.(2)当 a0 时，f(x)在定义域(0，)上恒大于 0，此时方程无解；当 a0 在(0，)上恒成立，所以 f(x)在定义域(0，)上为增函数f(1)120，fe1a 12e2a10 时，f(x)xaxx2axx ax ax，因为当 x(0，a)时，f(x)0，所以 f(x)在(a，)内为增函数所以当 x a时，f(x)有极小值即为最小值 f(a)12aaln a12a(1l
9、na)，专题四 要点热点探究 当 a(0，e)时，f(a)12a(1lna)0，此方程无解；当 ae 时，f(a)12a(1lna)0.此方程有惟一解 x a，当 a(e，)时，f(a)12a(1lna)0 且 11 时，(xlnx)0，所以 xlnx1，所以 xlnx，f(x)12x2alnx12x2ax，因为 2a a1，所以 f(2a)12(2a)22a20，所以方程 f(x)0 在区间(0，)上有两解综上所述：当 a0，e)时，方程无解；当 ae时，方程有两解专题四 要点热点探究【点评】含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值的值的正负；三
10、是区间端点的值正负规律技巧提炼专题四 规律技巧提炼 1函数的零点是方程根的几何特征，方程的根是函数零点的代数值2方程的根的特征如个数或所在区间不易判断时，可以转化为用图象进行研究3函数的零点或函数图象交点问题，也可以转化为对应方程或方程组的根求解4不定方程或含参数的方程的根研究，需要用分类讨论的思想进行研究专题四 课本挖掘提升 课本挖掘提升(教材必修 1 P95 探究拓展 30 改编)例已知直线 x2 及 x4 与函数 ylog2x 图象的交点分别为 A，B，与函数 ylgx 图象的交点分别为 C、D，则直线AB 与 CD 交点坐标为_【分析】图象的交点坐标问题直接从图形观察得不到结果，可以转
11、化为对应方程的根的问题，通过解方程得出交点【答案】(0,0)【解析】由图象可知直线 AB 与 CD 相交，两直线方程分别为 AB：y12x，CD：ylg22 x，则其交点坐标为(0,0)图 41专题四 课本挖掘提升 已知函数 f(x)13x3ax2(a21)x，且方程 f(x)0 有三个不同零点，求 a 的取值范围 专题四 课本挖掘提升【解答】因为 f(x)x22ax(a21)x(a1)x(a1)，所以方程 f(x)0 的两根为 xa1 和 xa1，显然，函数 f(x)在 xa1 处取得极大值，在 xa1 处取得极小值因为方程 f(x)0 有三个不等实根，所以fa10，fa10，13a2a120，解得2a2 且 a1.故 a 的取值范围是(2，1)(1,1)(1,2)专题四 课本挖掘提升
