1、课堂讲练互动课前探究学习第2课时 复数的几何意义课堂讲练互动课前探究学习【课标要求】1理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系2掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念3掌握用向量的模来表示复数的模的方法【核心扫描】1复数的两种几何意义(重点)2几何意义的应用(难点)课堂讲练互动课前探究学习自学导引1复平面的定义如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数zabi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做，x轴叫做、y轴叫做显然实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复平面实轴虚轴课堂讲练互动课前探究学习2共轭复数如果两个复数
2、的实部相等，而虚部互为，则这两个复数叫做互为共轭复数复数 z 的共轭复数用 z 表示即当 zabi 时，则 z.当复数 zabi 的虚部时，有z z，也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身相反数abib0课堂讲练互动课前探究学习3复数的两种几何意义与复数的模(1)复数 zabi(a，bR)复平面内的点(2)复数 zabi(a，bR)平面向量OZ.(3)向量OZ的模 r 叫做复数 zabi 的模，记作或.若b0，那么 zabi 是一个实数，它的模等于(就是 a 的绝对值)由模的定义可知：|z|abi|r a2b2(r0，rR)Z(a，b)|abi|a|a|z|课堂讲练互动课前探究学习想一想：平面
3、向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示 复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系课堂讲练互动课前探究学习4复数的模复数 zabi(a，bR)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z 的模，记作|z|，且|z|a2b2.课堂讲练互动课前探究学习想一想：(1)复平面内|z|的意义是什么？提示 在复平面内，|z|表示复数 z 的点 Z 到原点的距离，也就是向量 O Z的模(2)模相等的两个复数相等吗？提示 模相等的两个复数未必相等例如，|i|1|i|，但显然 ii.课堂讲练互动课前探究学习名师点睛1复平面上的点的坐标与复数的关系(1)复平
4、面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.课堂讲练互动课前探究学习2复数的几何意义 每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应由此可知，复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数 zabi一一对应复平面内的点 Z(a，b)设复平面内的点 Z 表示复数 zabi，连结 OZ，显然向量OZ是由点 Z 唯一确定；反过来，点 Z(相对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定因此，复数
5、集 C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数 0 与零向量对应)，即复数 zabi一一对应平面向量OZ.课堂讲练互动课前探究学习用点 Z(a，b)表示复数称为复数的几何形式，用向量OZ表示复数称为复数的向量形式为方便起见，我们常把复数 zabi 说成点 Z 或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数课堂讲练互动课前探究学习3巧用复数的几何意义解题(1)复平面内|z|的意义我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是表示实数 a 的点与原点 O 间的距离那么在复数集中，类似地，|z|是表示复数z 的点到坐标原点间的距离，也就是向量OZ的模，即|z|OZ|.(2)复平面内
6、任意两点间的距离设复平面内任意两点 P、Q 所对应的复数分别为 z1、z2，则|PQ|z2z1|.运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题课堂讲练互动课前探究学习题型一 复数的几何意义【例 1】在复平面上，复数 i,1,42i 的对应的点分别是 A，B，C.求平行四边形 ABCD 的 D 点所对应的复数思路探索 法一 复数点的坐标中点坐标公式D 点坐标D 对应复数，法二 复数 向量 向量运算 OD D 对应复数课堂讲练互动课前探究学习解 法一 由已知 A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，则 AC 的中点 E2，32，由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点，设 D(x，y)则
7、x12 2，y02 32，x3，y3.即 D(3,3)，D 点对应复数为 33i.课堂讲练互动课前探究学习法二 由已知：OA(0,1)，OB(1,0)，OC(4,2)BA(1,1)，BC(3,2)，BD BABC(2,3)，OD OB BD(3,3)，即点 D 对应复数为 33i.法三 设 D(x，y)，由BACD，(1,1)(x4，y2)，x3，y3，即 D(3,3)课堂讲练互动课前探究学习规律方法 复数的几何意义包含两种情况：(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向
8、量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题课堂讲练互动课前探究学习【变式 1】实数 k 为何值时，复数 zk23k4(k25k6)i对应的点位于：(1)x 轴正半轴上；(2)y 轴负半轴上；(3)第四象限角平分线上解 k 为实数，k23k4，k25k6 为实数，复数 zk23k4(k25k6)i 对应的点 Z 为(k23k4，k25k6)(1)若对应点位于 x 轴正半轴上，则k23k40，k25k60，解得 k6.课堂讲练互动课前探究学习(2)若对应点位于 y 轴负半轴上，则k23k40，k25k60)，k25k6k23k4，k23k40，解得 k5.课堂讲练互动课前探究学习题型二 复数
9、的模的求法【例 2】求复数 z168i 及 z212 2i 的模，并比较它们的模的大小思路探索 先确定复数的实、虚部，再代入公式即可解 z168i，z212 2i，|z1|628210，|z2|122 2232.1032，|z1|z2|.课堂讲练互动课前探究学习规律方法 计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小课堂讲练互动课前探究学习【变式 2】在复平面内画出下列各复数对应的向量，并求出各复数的模1，12 32 i，12 32 i.解 在复平面内找出各复数对应向量显然复数 1，12 32 i，12 32 i 对应向量分别
10、为OA，OB，OC.各复数的模为：|1|1，12 32 i 12 32 i 1.课堂讲练互动课前探究学习题型三 复数的模的几何意义【例 3】设 zC，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？(1)|z|2；(2)|z|3.利用模的意义或转化为实数 x、y 应满足的条件规范解答 法一(1)复数 z 的模等于 2，这表明向量OZ的长度等于 2，即点 Z 到原点的距离等于 2，因此满足条件|z|2的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆(6 分)课堂讲练互动课前探究学习(2)满足条件|z|3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆及其内部(12 分)法二 设 zxy
11、i(x，yR)，(1)|z|2，x2y24，点 Z 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆(6 分)(2)|z|3，x2y29.点 Z 的集合是以原点为圆心，以 3 为半径的圆及其内部(12 分)课堂讲练互动课前探究学习【题后反思】法一 根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状法二 利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法课堂讲练互动课前探究学习【变式 3】如图，平行四边形 OABC，顶点 O、A、C 分别表示0,32i，24i，试求：(1)AO 表示的复数，BC表示的复数；(2)CA所表示的复数；(3)设P为复平面上一点且满足|OP|CA|，求P
12、点的轨迹方程课堂讲练互动课前探究学习解(1)AO OA，而OA 对应的复数为 32i，AO 表示的复数为32i；BCAO.BC表示的复数为32i.(2)CAOA OC，CA所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)设 P(x，y)，|CA|52i|5222 29，|OP|x2y2，由|OP|CA|，得 x2y229，即点 P 的轨迹方程为 x2y229.课堂讲练互动课前探究学习误区警示 因对复数的模理解不到位而导致错误【示例】试研究方程x25|x|60在复数集上解的个数错解 将方程变为|x|25|x|60|x|2或|x|3x2或x3，故共有4个这里常出现将|x|看成“绝对值”从而出现错误的解法，注意这里|x|是一个复数的模，它不等同于实数的绝对值，x2也不能写成|x|2.课堂讲练互动课前探究学习正解 设 xabi(a，bR)，则原方程可化为a2b25 a2b262abi0a2b25 a2b260，2ab0a2，b0或a3，b0或a0，b1，即 x2 或 x3 或 xi.故方程在复数集上的解共有 6 个课堂讲练互动课前探究学习|z|是表示复数 z 的点 Z 与坐标原点间的距离也就是向量OZ的模，即|z|OZ|.
