1、3.3.2 简单的线性规划问题（1）问题情境：在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，两种产品所需配件、耗时、利润如下表：产品所需配件及数量耗时（小时/件）利润（万元/件）甲产品A 配件 4 个12乙产品B 配件 4 个23该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8 小时计算，怎样安排生产才能使利润最大？问题 1：利润由哪些量来决定？生产的甲、乙产品的数量等量关系：使用的 A 配件数量 甲产品数量4；使用的 B 配件数量 乙产品数量4；利润 2甲产品数量 3乙产品数量；不等关
2、系：生产甲产品总耗时 生产乙产品总耗时8；使用的 A 配件数量16；使用的 B 配件数量12；甲、乙产品的数量都是自然数.根据这些数量关系，可以设出几个未知数？甲产品数量 x、乙产品数量 y、利润 z请你用这些未知数，表达出问题中yx,应该满足的条件：.,124,164,82Nyxyxyx即.,3,4,82Nyxyxyx问题 2：有了上面的分析过程，这个实际问题可以转化为怎样的数学问题？已知实数yx,满足.,3,4,82Nyxyxyx，求yxz32 的最大值.问题3：我们前面碰到过求最值的问题吗？一般方法有哪些？这个问题能转化为前面所学的函数问题吗？那么，怎样获取符合条件的的值呢？碰到过；用函
3、数求最值、几何法求最值；不能，因为没有关于的等式，不能消元；可以画出不等式组表示的平面区域，然后从中把符合条件的有限个点的坐标求出，代入，通过比较求得最大值学生探究1：画出不等式组表示的平面区域可以求得平面区域内满足Nyx,的点有)3,1(),2,1(),1,1(),0,1(),3,0(),2,0(),1,0(),0,0()2,4(),1,4(),0,4(),2,3(),1,3(),0,3(),3,2(),2,2(),1,2(),0,2(.将坐标代入，比较知道，当2,4yx时，z 最大为14.问题4：若把不等式组改变为求的最大值，这种方法还可以用吗？那样如何求解呢？不能，点有无数个，不可能一一
4、验证.问题 5：大家在刚才的代入法求解中，有没有发现点)1,3(),3,0(BA使得yxz32 都为 9，也就是使932 yx成立，你能用所学的知识解释这一现象吗？那么在平面区域内还有这样的点吗？932 yx表示一条直线，而点)1,3(),3,0(BA都在直线932 yx上，所以都能使得932 yx成立.；有，如图所示的平面区域内位于线段 AC 上的所有的点，都使yx32，即 z 的值等于 9）点)1,4(会对应着类似的直线吗？对应着直线1432 yx问题 6：如何从几何角度认识yxz32？它对应的图形是什么？有什么条件约束这组平行直线？那么，怎样求 z 的最大值呢？请大家自己探究一下.当直线
5、平移经过点 P 时，位置最靠上，也就是纵截距最大，从而 z 最大.把点)2,4(P代入yxz32 后，得到14max z.例题：设2zxy，式中变量,x y 满足条件4335251xyxyx ，求 z 的最大值和最小值解：由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域 由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0 xy时，20zxy，即点(0,0)在直线 0l：20 xy上，作一组平行于 0l 的直线l：2xyt，tR，可知：当l 在 0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20 xy，即0t，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A时，对应的t 最大，当直线l 经过点(1,1)B时，对应的t 最小，所以，max2 5212z，min2 1 13z OyxACB430 xy 1x 35250 xy变式训练 1：设610zxy，式中,x y 满足条件4335251xyxyx ，求 z 的最大值和最小值 解：由引例可知：直线 0l 与 AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与 AC 所在直线 35250 xy重合时 z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当 l 经过点(1,1)B时，对应 z 最小，max61050zxy，min6 1 10 116z