1、1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.了解柱、锥、台的侧面展开图及它们的内在联系.2.理解侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.3.掌握柱、锥、台侧面积的计算公式，会求简单几何体的表面积.1.几个特殊多面体（1）直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱.（2）正棱柱：底面为正多边形的直棱柱.（3）正棱锥：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心.（4）正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.2.几个特殊多面体的侧面积公式S直棱柱侧ch，其中c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高.S正棱锥侧ch，其中c为正棱锥的底面周长，h为斜高.S正棱台侧（cc）h
2、，其中c、c分别为正棱台的上、下底面的周长，h为斜高.3.旋转体的侧面积、表面积公式（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧cl2rl，其中l为圆柱的母线长，c为底面圆的周长，r为底面圆的半径.S圆锥侧clrl，其中c，r分别为圆锥底面圆的周长与半径，l为母线长.S圆台侧（cc）l（rr）l，其中c，r，c，r分别为圆台上、下底面圆的周长与半径，l为圆台的母线长.（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式圆柱表面积：S圆柱2r22rl2r（rl）.圆锥表面积：S圆锥r2rlr（rl）.圆台表面积：S圆台（r2r2rlrl）.1.判断（正确的打“”，错误的打“”）（1）几何体的侧面积是指各个侧面的面积
3、之和.（）（2）棱台的表面积可由两个棱锥的表面积差得出.（）（3）圆台的高就是相应母线的长.（）答案：（1）（2）（3）2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（）A.4B.3C.2 D.解析：选C.底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.3.若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为.答案：2多面体的表面积已知正三棱锥PABC的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45，求正三棱锥的表面积.解：如图所示，设O为正三角形ABC的中心，连结PO，连结AO并延长交BC于D，连结PD，则PO是正三棱锥PABC的高.由正三角形ABC的性质知，D
4、是BC的中点，又PBPC，故PDBC，即PD是三棱锥的斜高.由已知APO45，AO4（cm），所以PAAO（cm），所以PB（cm）.所以PD （cm）.所以正三棱锥PABC的侧面积为：S侧3SPBC344（cm2），底面积：S底424（cm2）.故S表面积S侧S底444（）（cm2）.若将本例中“侧棱与高所成的角为45”改为“侧面都是直角三角形”，如何求三棱锥的表面积？解：由已知得正三棱锥的侧面为全等的等腰直角三角形，设正三棱锥的侧棱长为x，则x2x242，所以x2，所以S侧3（2）212（cm2）.又因为S底4（cm2），所以S表S侧S底124（cm2）.（1）求多面体的表面积，可以先求侧
5、面积，再求底面积.求侧面积，要清楚各侧面的形状，并找出求面积的条件；求底面积要清楚底面多边形的形状及求面积的条件.（2）依据正三棱锥和正三角形的性质，画出正三棱锥的高、斜高，从而求出斜高，这是解决此类问题的关键. 1.各棱长都等于4，且侧棱垂直于底面的三棱柱的表面积为.解析：所给三棱柱的底面是正三角形，侧面是正方形.三棱柱底面正三角形的边长为4，所以一个底面的面积为4.三棱柱的侧面是正方形，所以S侧34448.故该三棱柱的表面积等于488.答案：488旋转体的表面积圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.解：如图所示，设圆柱和圆锥的
6、底面半径分别是r，R，则有，即，所以R2r，圆锥的母线长lR，所以1.（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的表面积公式及解决有关问题的关键. （2）解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题.2.如图所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC90，AB5 cm，BC16 cm，AD4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解：以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC13（cm），所以该几何体的表面积为
7、（416）1342162532（cm2）.与空间几何体表面积相关的综合题如图，在ABC中，ABC45，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.（1）证明：平面ADB平面BDC；（2）若BD1，求三棱锥DABC的表面积.解：（1）证明：因为折起前AD是BC边上的高，所以当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，所以AD平面BDC，因为AD平面ABD，所以平面ABD平面BDC.（2）由（1）知，DADB，DBDC，DCDA，因为DBDADC1，所以ABBCCA，从而SDABSDBCSDCA11，SABC ，故三棱锥DABC的表面积S3.（1）棱柱、棱锥和棱台的表面积
8、等于侧面积与底面积之和.棱柱、棱锥、棱台均是多面体，多面体的表面积的求法有两种：一种是分开算，把各个面的面积分别计算出来，再求其和；另一种是将它们沿某些棱剪开，计算平面展开图的面积.（2）多面体的有关表面积计算要抓住平面展开图，或者关键的线面长，如底面边长、高等.旋转体的表面积计算要抓住轴截面及旋转半径、母线长等. 3.一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱.（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱侧面积最大？求出最大值.解：（1）母线l2 cm，S侧面积224（cm2）；（2）设圆柱的底面半径为r cm，则，所以r2，则圆柱的侧面积为S2x（x3
9、）26，所以当x3 cm时，S最大6 cm2.圆柱、圆锥、圆台侧面积之间的关系如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，BB1c，并且abc0，求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.【解】将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示，三个图形（1）、（2）、（3）中AC1的长分别为：，.因为abc0，所以abacbc0，故最短线路的长为.（1）解答多面体表面上两点间的最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段的长.多面体的表面展开图并不只是一种图形，在解答题过程中容易因思考不全面导致错误.（2）求解与侧面积和全面积有关的问题，借助侧面展开图是常
10、用的思路.求几何体表面两点间最短距离，也应借助侧面展开图，将立体几何问题转化为平面几何问题，这时应对多面体展开图的各种情况考虑周全.避免因遗漏某些情况而导致错误.1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（）A.22B.20C.10D.11解析：选A.所求长方体的表面积S2（12）2（13）2（23）22.2.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的（）A.4倍 B.3倍 C.倍 D.2倍解析：选D.设轴截面正三角形的边长为2a，所以S底a2，S侧a2a2a2，所以S侧2S底.3.已知各面均为等边三角形的四面体SABC（即正四面体SABC
11、），棱长为a，则其表面积为.解析：过点S作SDBC，交BC于点D，如图所示.因为BCa，SDa，所以SSBCBCSDaaa2.因此，四面体SABC的表面积S4a2a2.答案：a2 A基础达标1.下列有四个结论：各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥.其中，正确结论的个数是（）A.1B.2C.3 D.4答案：A2.若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A.12 B.1C.1 D.2解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h2r，所以其母线长lr.所以S侧r
12、lr2，S底r2，S底S侧1.3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.12 B.12C.8 D.10解析：选B.因为过直线O1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2（）22212.4.圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（）A.10 B.12C.16 D.18解析：选B.一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为l244，即圆锥的底面周长为4，设圆锥的底面半径是r，则得到2r4，解得：r2，这个圆锥
13、的底面半径是2，所以圆锥的表面积为S422212，故选B.5.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S（）A.2 600 cm2 B.5 200 cm2C.2 600 cm2 D.5 200 cm2解析：选C.几何体的50 cm到80 cm处的截去的部分的面积和余下的面积相等，将几何体侧面展开，上部分面积为40，下部分的面积为5040 ，由此可知：斜截圆柱的侧面面积：S5040402 600，故选C.6.已知三棱柱ABCABC的底面是边长为1 cm的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4 cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈
14、到达A点，则小虫所行的最短路程为cm.解析：三棱柱ABCABC侧面展开是长为4 cm，宽为3 cm的矩形，所以小虫从A点出发沿表面一圈到达A点，小虫所行的最短路程为矩形的对角线长，应为5 cm.答案：57.已知圆台的上、下底面的面积之比为925，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是.解析：圆台的上、下底面半径之比为35，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1（3x4x）l7xl，下台体侧面积S2（4x5x）l9xl，所以S1S279.答案：798.若圆柱的轴截面是边长为5的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的
15、最短距离为.解析：如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长.因为ABBC5，所以的长l2.所以AC5 .答案： 9.如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少？（取3.14）解：正方体的表面积为42696 （cm2），一个圆柱的侧面积为2116.28 （cm2），则打孔后几何体的表面积为966.286133.68 （cm2）.10.一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm，侧棱长是13 cm，求它的全面积.解：上底面周长为c3824 cm，下
16、底面周长c31854 cm，斜高h12 cm，所以S正棱台侧（cc）h（2454）12468 cm2，S上底面8216 cm2，S下底面18281 cm2，所以正三棱台的全面积为S468168146897 cm2.B能力提升1.在ABC中，AC2，BC2，ACB120，若ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（）A.（62） B.6C.（92） D.2解析：选A.ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，因为AC2，BC2，ACB120，所以OA，AB2.所以所形成的几何体的表面积是（22）（62），故选A.2.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
17、为a，将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为.解析：由题意可知，组成的棱柱是直四棱柱，且满足条件的直四棱柱只有一种，即组成新的四棱柱以后的表面积是由原来的正方体中的四个相同的正方形的面积和两个对角面的面积组成，则所得的四棱柱的全面积为4a2aa2（42）a2.答案：（42）a23.如图，已知棱锥PABC的侧面是全等的等腰直角三角形，APBBPCCPA90，PAPBPCa，M是AB的中点.一只小虫从M点沿侧面爬到C点，求小虫爬行的最短路程.解：将棱锥PABC沿PA剪开，展成如图所示的平面图形.因为APBBPCCPA90，PAPBP
18、Ca，所以ABBCa.立体图形中的上述数量关系除AC外在平面图形中保持不变.在展开图中，MBa，BCa，MBC90，所以MC2MB2BC2a22a2a2，所以MCa.即小虫爬行的最短路程为a.4.（选做题）已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，求三棱柱的侧面积.解：如图所示，设D为BC的中点，则A1D平面ABC，因为BC平面ABC，所以A1DBC，因为ABC为等边三角形，所以ADBC，又ADA1DD，所以BC平面A1AD，所以BCA1A.又因为A1AB1B，所以BCB1B.又因为三棱柱的侧棱与底面边长都等于2，所以四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DEAB于E，连结A1E，则ABA1E，又因为AD，DE，所以AE，所以A1E，所以S四边形ABB1A1S四边形AA1C1C，所以S三棱柱侧24.
