1、章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中横线上)1抛物线yx2的准线方程是_【解析】把抛物线方程化为标准形式得x28y，所以抛物线的准线方程为y2.【答案】y22如果方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_【解析】焦点在x轴上，则标准方程中a2a6，解得a3或a0，a60，所以a3或6a3或6a0)相切，则r等于_【解析】双曲线1的渐近线方程为yx，与圆(x3)2y2r2(r0)相切，得r.【答案】4若F1，F2是双曲线1(a0，b0)与椭圆1的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且PF
2、1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_. 【导学号：09390068】【解析】不妨设PF1PF2，则PF1F1F28，由双曲线及椭圆的定义，可知即得2a6，a3.又a2b216，所以b27，故双曲线的渐近线方程为yx.【答案】yx5设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_【解析】易知抛物线y28x的准线x2与x轴的交点为Q(2,0)，于是，可设过点Q(2,0)的直线l的方程为yk(x2)(由题可知k是存在的)，联立k2x2(4k28)x4k20.当k0时，易知符合题意；当k0时，其判别式为(4k28)216k464k2640，
3、可解得1k1，且k0，综上可知，1k1.【答案】1,16已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为_【解析】由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得2.由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得.由解得a2，b，所以双曲线的方程为1.【答案】17设F1，F2为曲线C1：1的焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，则PF1F2的面积为_【解析】由题意知，|F1F2|24，设P点坐标为(x，y)由得则SPF1F2|F1F2|y|4.【答案】8已知抛物线y22px(p0)与双曲线1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，
4、且AFx轴，则双曲线的离心率为_【解析】由抛物线的定义知，AF2c，2c.c2a22ac，e22e10.又e1，e1.【答案】19直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是_【解析】如图，分别过点A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M，N，由抛物线的定义知，AMBNAFBFAB8.又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x，所以42，即p4，所以抛物线的方程是y28x.【答案】y28x10已知抛物线y2px2(p0)的焦点为F，点P在抛物线上，过点P
5、作PQ垂直抛物线的准线，垂足为点Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形PQMF的面积为_【解析】由点P在抛物线上，得p，故抛物线的标准方程为x24y，点F(0,1)，准线为y1，FM2，PQ1，MQ1，则直角梯形PQMF的面积为1.【答案】11已知椭圆方程1，双曲线1(a0，b0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为_【解析】因为双曲线 1(a0，b0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，所以c2，a1，所以双曲线的离心率为2.【答案】212已知长为1的线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且，则点P的轨迹C的方程为_【解析】设A(x0,
6、0)，B(0，y0)，P(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)，得x0x，y0(1)y，因为|AB|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化简得y21.点P的轨迹方程为y21.【答案】y2113过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若AF3，则BF_.【解析】由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x，得y28，由图知，y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)由解得或知点B的坐标为，BF(1).【答案】14已知椭圆C：1(ab0)的离心率为
7、.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为_【解析】因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，yb，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，a220，所以椭圆方程为1.【答案】1二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为yx，且过点(4，)(1)求双曲线方程
8、；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求.【解】(1)双曲线的一条渐近线方程为yx，设双曲线方程为x2y2(0)把(4，)代入双曲线方程得42()2，6，所求双曲线方程为x2y26.(2)由(1)知双曲线方程为x2y26，双曲线的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)点M在双曲线上，32m26，m23.(23，m)(23，m)(3)2(2)2m2330.16(本小题满分14分)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)设直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为D(2，1)，求直线l的一般式方程. 【导学号：0939006
9、9】【解】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：x1(x0)，化简得y24x(x0)即曲线C的方程为y24x(x0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，易知l的斜率k存在，故(y1y2)4，即2k4，所以k2，故l的一般式方程为2xy30.17(本小题满分14分)如图1，抛物线关于x轴对称，它的顶点是坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上图1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率【解】(1)由已知条件，可设
10、抛物线的方程为y22px(p0)点P(1,2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y4x1，y4x2，y12(y22)，y1y24.，得kAB1(x1x2)18(本小题满分16分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程【解】依题意，设抛物线的方程为y22p
11、x(p0)，点P在抛物线上，62p，解得2p4，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，c1，则a2b21，又点P在双曲线上，1，解方程组得或所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分16分)如图2所示，已知直线l：ykx2与抛物线C：x22py(p0)交于A，B两点，O为坐标原点，(4，12)图2(1)求直线l和抛物线C的方程；(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时，求ABP面积的最大值【解】(1)由得x22pkx4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.因为(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)
12、(4，12)，所以解得所以直线l的方程为y2x2，抛物线C的方程为x22y.(2)设点P(x0，y0)，依题意，抛物线过点P的切线与直线l平行时，ABP的面积最大设切线方程是y2xt，由得x24x2t0，4242t0，t2.此时，点P到直线l的距离为两平行线间的距离，d.由得x24x40，AB4.ABP面积的最大值为48.20(本小题满分16分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足t(O为坐标原点)，当|时，求实数t的取值范围【解】(1)由题意知，e， 所以e2，即a22b2.又因为b1，所以a22，b21.故椭圆C的方程为y21.(2)由题意知，直线AB的斜率存在设AB：yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由得(12k2)x28k2x8k220.64k44(2k21)(8k22)0，k2，x1x2，x1x2.t，(x1x2，y1y2)t(x，y)，x，yk(x1x2)4k.点P在椭圆上，22，16k2t2(12k2)|，|x1x2|，(1k2)(x1x2)24x1x2，(1k2)，(4k21)(14k213)0，k2，k2.16k2t2(12k2)，t28，2t或t2，实数t的取值范围为.
