1、专题一数学思想方法第一讲函数与方程思想1 函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2 函数与方
2、程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切1 (2013陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分
3、)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15,20B12,25C10,30D20,30答案C解析如图，ADEABC，设矩形的另一边长为y，则22，所以y40x，由题意知xy300，即x(40x)300，整理得x240x3000，解不等式得10x30.2 (2012课标全国)设点P在曲线yex上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A1ln 2 B(1ln 2)C1ln 2 D(1ln 2)答案B解析由题意知函数yex与yln(2x)互为反函数，其图象关于直线yx对称，两曲线上点之间的最小距离就是yx与yex上点的最小距离的2倍，设yex上点(x0，y0)处的切线与yx平行，
4、有ex01，x0ln 2，y01，yx与yex上点的最小距离是(1ln 2)，所求距离为(1ln 2)2(1ln 2)3 (2012浙江)设a0，b0，e是自然对数的底数()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则ab答案A解析当0ab时，显然eaeb，且2a2b3b，ea2ab成立，故A正确，B错误；当0ab，由eaeb，2a3b，知ea2a与eb3b的大小关系不确定，故C错误；同理，D错误4 (2013北京)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.答案22n12解析设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.
5、20q40，且a1qa1q320，解之得q2，且a12.因此Sn2n12.5 (2013安徽)已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_答案1，)解析以AB为直径的圆的方程为x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，则由题意得解得a1.题型一利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1(1)设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B. C. D.(2)若a，b是正数，且满足abab3，则ab的取值范围为_审题破题(1)由题意可知|MN|f(x)g
6、(x)x2ln x，因此该问题可转化为：求x为何值时，函数F(x)x2ln x取得最小值(2)由abab3变形可得b，从而求ab的取值范围问题可转化为求函数f(a)的值域问题；若设abt，则abt3，从而a，b可看成方程x2(t3)xt0的两根，利用方程的思想解决答案(1)D(2)9，)解析(1)可知|MN|f(x)g(x)x2ln x.令F(x)x2ln x，则F(x)2x，所以当0x时，F(x)时，F(x)0，F(x)单调递增，故当x时，F(x)有最小值，即|MN|达到最小(2)方法一(看成函数的值域)abab3，a1，b.而b0，0.即a1或a0，a1，故a10.aba(a1)59.当且
7、仅当a1，即a3时取等号ab的取值范围是9，)方法二若设abt，则abt3，所以a，b可看成方程x2(t3)xt0的两个正根从而有即解得t9，即ab9.所以ab的取值范围是9，)反思归纳(1)求参数的取值范围，一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量的个数，如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决变式训练1若点O和点F(2,0)分别是双曲线y21 (a0)
8、的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C. D答案B解析因为F(2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为y21.设点P(x0，y0)，则有y1 (x0)，解得y1 (x0)，因为(x02，y0)，(x0，y0)，所以x0(x02)yx0(x02)12x01，此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线x0，因为x0，所以当x0时，取得最小值32132，故的取值范围是32，)题型二利用函数与方程思想研究方程根的问题例2如果方程cos2xsin xa0在(0，上有解，求a的取值范围审题破题可分离变量为acos2xsin x，转化
9、为确定的相关函数的值域解方法一设f(x)cos2xsin x(x(0，)显然当且仅当a属于f(x)的值域时，af(x)有解f(x)(1sin2x)sin x(sin x)2，且由x(0，知sin x(0,1易求得f(x)的值域为(1,1故a的取值范围是(1,1方法二令tsin x，由x(0，可得t(0,1将方程变为t2t1a0.依题意，该方程在(0,1上有解设f(t)t2t1a.其图象是开口向上的抛物线，对称轴t，如图所示因此f(t)0在(0,1上有解等价于，即，1a1.故a的取值范围是(1,1反思归纳研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数
10、，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决变式训练2已知方程9x23x(3k1)0有两个实根，求实数k的取值范围解令3xt，则方程化为t22t(3k1)0；(*)要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，解得2m4x恒成立，求x的取值范围审题破题本题可先求出m的范围，不等式x2mx42m4x恒成立可转化为函数g(m)m(x2)(x2)2的值恒大于0.解t，8，f(t).原题转化为当m时，不等式x2mx42m4x恒成立，即m(x2)(x2)20恒成立令g(m)m(x2)(x2)2，m，问题转化为g(
11、m)在m上恒大于0，则即解得x2或xm(x1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围是()A. B(2，)C. D(，2)答案C解析原不等式即(x1)m(2x1).题型四利用函数与方程思想解决数列问题例4设数列an的前n项和为Sn，且Snn24n4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn0 (nN*)，Tn0，TnTn1 (n2)T1，T21，T2T1.故TnT2，即Tn (nN*)综上，Tn1 (nN*)反思归纳(1)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想
12、求解(2)数列不等式问题，可以通过变形、整理，转化为数列所对应的函数的单调性问题解决变式训练4(2012浙江)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列答案C解析设an的首项为a1，则Snna1n(n1)dn2n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d0，不妨设a11，d2，显然Sn是递增数列，但S110，d0，Sn必是递增数列，D正确典例(14分)(2012北京)已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的
13、两点M，N.(1)求椭圆C的方程(2)当AMN的面积为时，求k的值规范解答解(1)由题意得解得b.所以椭圆C的方程为1.4分(2)由得(12k2)x24k2x2k240.5分设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2.8分所以|MN|.10分又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d.12分由，解得k1.k的值为1或1.14分评分细则(1)不列方程没有a2b2c2，扣1分；(2)求|MN|时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分阅卷老师提醒(1)本题易错点：不会整合题
14、目条件，没有列出方程求b、c；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线yk(x1)过定点T(1,0)，则SAMN|AT|y1y2|，大大简化运算过程1 在正实数集上定义一种运算“*”：当ab时，a*bb3；当ab0)的左，右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A. B. C. D.答案C解析由题意，知F2F1PF2PF130，PF2x60.|PF2|23a2c.|F1F2|2c，|F1F2|PF2|，3a2c2c，e.3 方程x2xm0在x1,1上有实根，则m的取值范围是()Am Bm4xp3恒成立的x的取值范围是
15、_答案(，1)(3，)解析x2px4xp3对于0p4恒成立可以变形为x24x3p(x1)0对于0p4恒成立，所以一次函数f(p)(x1)px24x3在区间0,4上的最小值大于0，即，所以x的取值范围是(，1)(3，)6 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_答案(，3)(0,3)解析设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)为奇函数又当x0，所以x0时，F(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)所以F(x
16、)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)答案B解析设(x)f(x)(2x4)，则(x)f(x)20，(x)在R上为增函数，又(1)f(1)(24)0，由(x)0可得x1.故f(x)2x4的解集为(1，)2 若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0) Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)f(2)f(2)0，因此g(0)f(2)1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C， D(，)答案B解析e2212，因为当a1时，01，所以2e25，即e0
17、恒成立，则实数m的取值范围是()A(0,1) B(，0)C(，1) D.答案C解析易知f(x)为奇函数且为增函数，f(mcos )f(1m)0，即f(mcos )f(m1)，mcos m1，而0时，cos 0,1，得m0的解集为x|1x2，则不等式0的解集是()Ax|x1 Bx|x2Cx|x1 Dx|x2答案A解析0(ax1)(xb)0，转化为x11，x22是方程(ax1)(xb)0的两个根(且a0)，即解得，0x1.故选A.二、填空题9 若关于x的方程(22|x2|)22a有实根，则实数a的取值范围是_答案1,2)解析令f(x)(22|x2|)2.要使f(x)2a有实根，只需2a是f(x)的
18、值域内的值f(x)的值域为1,4)，1a24，1a0，即(a1)24a23a22a1(3a1)(a1)0，1a且a0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x10，x1x2.设点O到直线g(x)xa的距离为d，则d，S|x1x2| .1ab0)，设c0，c2a2b2，由题意，知2b，所以a1，bc.故椭圆C的方程为y21，即y22x21.(2)设直线l的方程为ykxm(k0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmxm210，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2，x1x2.因为3，所以x13x2，所以所以3(x1x2)24x1x20.所以3240.整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)(2m22)0.当m2时，上式不成立；当m2时，k2，由(*)式，得k22m22，又k0，所以k20.解得1m或m1.即所求m的取值范围为.
