1、课堂讲练互动课前探究学习2.2.2 反证法课堂讲练互动课前探究学习【课标要求】1了解反证法是间接证明的一种基本方法2理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题【核心扫描】体会反证法的思考过程、特点，培养逆向思维的能力(重难点)课堂讲练互动课前探究学习自学导引1反证法由证明 pq 转向证明綈 qrt，t 与矛盾，或与某个矛盾，从而判定，推出的方法，叫做反证法假设真命题綈q为假q为真课堂讲练互动课前探究学习2反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与矛盾，与数学或已被证明了的结论矛盾，与公认的简单事实矛盾假设公理、定理、公式、定义课堂讲练互动课前探究学习想一想：有人
2、说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？提示 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对课堂讲练互动课前探究学习名师点睛1反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，即从原命题的否定入手，由p与綈q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定命题的否定为假；又两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真由此肯定命题“若p则q”为真用反证法证明命题“若p则q”，它的全部过程和逻辑根据可
3、以表示如下：课堂讲练互动课前探究学习肯定条件p，否定结论q推理 导致逻辑矛盾 矛盾律“若p则綈q”为假“若p则q”为真课堂讲练互动课前探究学习2反证法证明数学命题的一般步骤第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q(反设)；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果(归谬)；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真第三步中所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况课堂讲练互动课前探究学习3反证法常用的否定形
4、式结论词是都是至多一个至少一个任意至少n个至多n个反设词不是不都是至少两个一个也没有某个至多n1个至少n1个课堂讲练互动课前探究学习题型一 用反证法证明“至多”“至少”型命题【例 1】已知 x，y0，且 xy2.求证：1xy，1yx 中至少有一个小于 2.思路探索 先假设两式都不小于 2，再经过一系列的推理，得出矛盾结果即可课堂讲练互动课前探究学习证明 假设1xy，1yx 都不小于 2，即1xy 2，1yx 2.x，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即 xy2 与已知 xy2 矛盾1xy，1yx 中至少有一个小于 2.课堂讲练互动课前探究学习规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题
5、适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误课堂讲练互动课前探究学习【变式1】已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数证明 假设a，b，c，d都是非负数，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.这与已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数课堂讲练互动课前探究学习题型二 用反证法证明不存在、唯一性命题【例2】证明：对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线yax
6、(a为常数)对称思路探索 由于直接证明比较困难，但其反面相对来说较为容易，故采用反证法证明课堂讲练互动课前探究学习证明 假设存在实数 k，使得 A、B 关于直线 yax 对称，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线 l：ykx1 与直线 yax 垂直；(2)点 A、B 在直线 l：ykx1 上；(3)线段 AB 的中点x1x22，y1y22在直线 yax 上，所以ka1 y1y2kx1x22 y1y22ax1x22课堂讲练互动课前探究学习由ykx1，y23x21，得(3k2)x22kx20.当 k23 时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意由、得 a(x1x2)k(x1x2)2
7、由知 x1x2 2k3k2，代入整理得：ak3，这与矛盾所以假设不成立，故不存在实数 k，使得 A、B 关于直线 yax 对称课堂讲练互动课前探究学习规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便课堂讲练互动课前探究学习【变式2】求证方程2x3有且只有一个根证明 2x3，xlog23，这说明方程2x3有根下面用反证法证明方程2x3的根是唯一
8、的：假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则2b13,2b23，两式相除得2b1b21.若b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾若b1b20，则2b1b21)，证明方程 f(x)0 没有负数根证明 假设 x0 是 f(x)0 的负数根，则 x00 且 x01 且 ax0 x02x01，由 0ax010 x02x011，解得12x02，这与 x00 矛盾，所以假设不成立，故方程 f(x)0 没有负数根课堂讲练互动课前探究学习误区警示 不理解题意而致错【示例】已知a，b，c是互不相等的非零实数求证：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有
9、两个相异实根错解 假设三个方程都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，(*)即(ab)2(bc)2(ca)20，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根课堂讲练互动课前探究学习上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有0”，事实上，“方程没有两个相异实根时0”正解 假设三个方程都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根课堂讲练互动课前探究学习用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的
