1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时两平面垂直学 习 目 标核 心 素 养1.了解二面角的概念，能在长方体中度量二面角(难点)2.理解并掌握面面垂直的判定定理(难点、重点)3.掌握面面垂直的性质定理及其应用方法(难点、重点)通过求二面角来提升学生的数学运算核心素养，借助于两平面垂直的定理解题来提升学生的直观想象、逻辑推理核心素养.1与二面角有关的概念(1)平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面棱为AB，面为，的二面角，记作二面角AB(2)一般地，以二
2、面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度我们约定，二面角的大小范围是0180平面角是直角的二面角叫做直二面角一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直2平面与平面垂直的判定定理自然语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直符号语言l，l图形语言3.平面与平面垂直的性质定理自然语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言，l，a，ala图形语言1.思考辨析(1)两平
3、面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直()(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直()(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直()(4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直()答案(1)(2)(3)(4)2下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是_答案3已知平面平面，直线a，则a与的位置关系是_答案
4、a或a4若三个不同的平面，满足，则与之间的位置关系是_平行或相交如图所示，满足，的与之间的位置关系可能为平行，也可能为相交面面垂直的判定定理的应用【例1】已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD，M，N分别是AB，PC的中点求证：平面MND平面PCD.思路探究：欲证平面MND平面PCD，只需证明平面MND中的直线MN平面PCD即可，取PD的中点E，易知MNAE，故只需证明AE平面PCD即可证明如图，取PD的中点E，连结AE，NE.E，N分别是PD，PC的中点，ENCD.又ABCD，AMAB，ENAM，四边形AMNE是平行四边形，MNAE.PA平面ABCD，PACD.又CDAD，PA
5、ADA，CD平面PAD，CDAE.在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边PD上的中线，AEPD.又CDPDD，AE平面PCD.又MNAE，MN平面PCD.MN平面MND，平面MND平面PCD.面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直1如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，AA12AC，D是棱AA1的中点求证：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，CDC190，即DC
6、1DC.又DCBCC，DC1平面BDC，DC1平面BDC1，平面BDC1平面BDC.面面垂直性质的应用【例2】如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.思路探究：(1)在平面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可(2)先证BC平面SAB，再利用线面垂直的性质即可证BCSA.证明(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB.因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFE
7、GE，所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB.又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因为BC平面SBC，所以AFBC.又因为ABBC，AFABA，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因为SA平面SAB，所以BCSA.1证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理2利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线2如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，
8、CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又PAADA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF，又EFBEE，所以CD平面BEF.因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.求二面角的大小探究问题若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两
9、个半平面，那么这两个二面角的大小关系如何？提示关系无法确定如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定【例3】如图所示，PA平面ABC，ACBC，AB2，BC，PB，求二面角PBCA的大小思路探究：先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解解PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.又ACBC，PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，BC平面PAC.又PC平面PAC，BCPC.又BCAC.PCA为二面角PBCA的平面角在RtPBC中，PB，BC，PC2.在RtABC中，
10、AC，在RtPAC中，cosPCA，PCA45，即二面角PBCA的大小为45.解决二面角问题的策略3如图(1)所示，在平面四边形ABCD中，ABBCCDa，B90，BCD135.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图(2)所示(1)(2)(1)求证：平面ABD平面BCD；(2)求二面角BADC的大小解(1)证明：如图，ACD1354590，CDAC.由已知二面角BACD是直二面角，过B作BOAC，垂足为O，由ABBC知O为AC中点，作OEAC交AD于E，则BOE90，BOOE.而OEACO，BO平面ACD.又CD平面ACD，BOCD.又ACBOO，CD平面ABC.AB平面ABC，ABCD，由已
11、知ABC90，ABBC.而BCCDC，AB平面BCD.又AB平面ABD，平面ABD平面BCD.(2)由(1)知BO平面ACD，BOAD.作OFAD，连接BF，则OFAD.又BOOFO，AD平面BOF，ADBF，BFO为二面角BADAC的平面角ABBCa，ACa，BOa.CDa，OE，AEa，OFa，BFa，cosBFO，BFO60，即二面角BADC的大小为60.1本节课的重点是了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小，掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，并能解决有关面面垂直的问题难点是综合利用面面垂直的判定定理和性质定理解决关于垂直的问题2本节课
12、要重点掌握的规律方法(1)确定二面角的平面角的方法(2)证明面面垂直的方法，应用面面垂直的性质定理证明线面垂直的方法3本节课的易错点是忽视平面角定义中的垂直关系误判二面角的平面角，垂直关系转化中易出现转化混乱错误1对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是()Amn，m，nBmn，m，nCmn，n，mDmn，m，nCn，mn，m，又m，由面面垂直的判定定理得.2已知l，则过l与垂直的平面有_个无数由面面垂直的判定定理知， 凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个3已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则二面角DBCA的大小为_90如图，由题意知ABACBDCD，BCAD2.取BC的中点E，连结DE，AE，则AEBC，DEBC，所以DEA为所求二面角的平面角易得AEDE，又AD2，AD2AE2DE2，所以DEA90.4如图，平面角为锐角的二面角EF，AEF，AG，GAE45，若AG与所成角为30，求二面角EF的平面角解作GH于点H，作HBEF于点B，连结AH，GB，则GBEF，GBH是二面角的平面角又GAH是AG与所成的角，设AGa，则GBa，GHa，sinGBH，所以GBH45，故二面角EF的平面角为45.- 11 - 版权所有高考资源网
