1、【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校理科最新试题精选（一）分类汇编9：立体几何一、选择题1 （宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图及尺寸如图所示,则该几何体的体积为（）ABCD212 （宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设为两条直线,为两个平面,则下列结论成立的是（）A若且,则B若且,则 C若,则D若则3 （宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为 4 （宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）一个体积为的正三
2、棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为（）ABCD5 （宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是（）AB CD6 （宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）正方形的边长为,中心为,球与正方形所在平面相切于点,过点的球的直径的另一端点为,线段与球的球面的交点为,且恰为线段的中点,则球的体积为（）ABCD7 （宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图为一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为（）ABCD8 （吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）已知球
3、的直径PQ=4,（）ABC是该球球面上的三点,是正三角形.,则棱锥PABC的体积为（）ABCD9 （吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体,余下的几何体的三视图(如图所示),则余下部分的几何体的表面积为 （）A+1B+1 CD10（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上,则球的表面积是2222正视图侧视图俯视图（）ABCD 11（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）已知某三棱锥的正视图和侧视图如图所示,则它的俯视图可
4、能是12（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）已知三棱锥SABC的四个顶点都在半径为1的球面上,底面ABC是正三角形,SA = SB = SC,且平面ABC过球心,则三棱锥S-ABC的体积是（）ABCD13（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）若某几何体的三视图如图所示,则几何体的体积是 （）ABC1D214（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word版，含答案） ）已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到两个圆的公共弦长为,若其中一个圆的半径为4,则另一个圆的半径为（）ABCD15（黑龙江省教研联合体2013届高
5、三第二次模拟考试数学（理）试题（word版，含答案） ）若某几何体的三视图(图中单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 （）ABCD16（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知某几何体的正视图和侧视图均为边长为1的正方形,则这个几何体的体积不可能是（）ABC1D 17（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是（）ABCD18（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）设表示两条直线,表示两个平面,则下列
6、命题是真命题的是（）A若,则B若,则C若,则D若,则19（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图可能为:长、宽不相等的长方形;正方形;圆;椭圆.其中正确的是 侧视图正视图2322（）ABCD20（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）已知四棱锥的三视图如图1所示,则四棱锥的四个侧面中面积最大的是 （）ABCD21（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）三棱锥的外接球为球,球的直径是,且、都是边长为1的等边三角形,则三棱锥的体积是（）ABCD22（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下
7、学期开学考试数学（理）试题）把边长为的正方形沿对角线折起,使得平面平面,形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示,则侧视图的面积为 （）ABC D 23（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）一个几何体的三视图及尺寸如右图所示,则该几何体的外接球半径为（）ABCD24（黑龙江哈三中2013届高三第二次模拟数学（理)试题）正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）ABCD25（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）已知是平面,是直线,给出下列命题,其中正确的命题的个数是 ( 1 )若,则( 2 )若,则( 3 )如果是异
8、面直线,那么与相交( 4 )若,且,则且.（）A1B2C3D426（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （）ABCD 27（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）已知正四棱锥的底边和侧棱长均为,则该正四棱锥的外接球的表面积为（）ABCD28（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（）A4B6C8D12二、填空题29（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）边长是的正三角形内接于体积是的球,则球面上的点到平面的最大距离为
9、_30（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3,体积为6,则这个球的表面积是_.31（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）把一个半径为的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍,则这个圆锥的高为_.32（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）已知某三棱锥的三视图(单位: )如右图所示,则该三棱锥外接球的表面积等于_.正视图侧视图俯视图3233（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）底面半径为1,高为的圆锥,其内接圆柱的底面半径为R,内接圆柱的体积最大时R值为_
10、.34（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知四面体的外接球的球心在上,且平面, , 若四面体的体积为,则该球的体积为_ 35（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）正三角形的边长为2,将它沿高翻折,使点与点间的距离为1,此时四面体外接球表面积为_ 三、解答题36（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如图,已知平面,平面,为等边三角形,为的中点.()求证:平面; ()求证:平面平面;()求直线和平面所成角的正弦值.37（宁夏银川一中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互
11、相垂直.,.(1)求证:; (2)求直线与平面所成角的正弦值; 38（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）如图,一个几何体是由圆柱OO和三棱锥E-ABC组合而成,点A、B、C在圆O的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12,EA平面ABC,ABAC,AB=AC,AE=2()求证:ACBD;()求二面角A-BD-C的大小.39（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD/BC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=,AD=1,CD=
12、.()若点M是棱PC的中点,求证:PA / 平面BMQ;()求证:平面PQB平面PAD; ()若二面角M-BQ-C为30,设PM=tMC,试确定t的值 .40（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,在四棱锥中, 底面,是直角梯形, ,是中点.(1)求证:平面平面;(2)若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.41（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）如图所示,和是边长为2的正三角形,且平面平面,平面,.()证明:; ()求与平面所成角的正弦值; ()求平面和平面所成的二面角的余弦值.42（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理
13、）试题）如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90,平面PAB平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.()求证:DE平面PBC;()求证:ABPE;()求二面角A-PB-E的大小.PABCED43（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）如图:四棱锥中,.,.()证明: 平面;()在线段上是否存在一点,使直线与平面成角正弦值等于,若存在,指出点位置,若不存在,请说明理由.ABCD44（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）如图,在四棱锥A-BCC1B1中,等边三角形ABC所在平面与正方形BCC1B1所在平面互相垂直,D为CC1
14、中点(I)求证:BD AB1 : (II)求二面角B-AD-B1的余弦值.45（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）如图,已知四棱锥,侧面为边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,()证明:()若,求直线AB与平面PBC所成角的正玄值46（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word版，含答案） ）如图,已知四棱锥,底面ABCD为菱形,为AD的中点,PA=PD=AD=2,M在线段PC上,且PM=tPC()试确定实数t的值,使PA平面BMQ;()在()的条件下,若PQ平面ABCD,求二面角M-BQ-C的大小47（黑龙江省哈三中等四校联考201
15、2届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）如图,四棱锥的底面是正方形,点在棱上.() 求证:平面平面;() 当,且直线与平面成角为时,确定点的位置,即求出的值. 48（黑龙江省哈三中2012届高三第一次高考模拟考试数学（理）试题）已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,侧面ABB1A1是菱形,且A1AB=60,M是A1B1的中点,MBAC.(1)求证:MB平面ABC;(2)求二面角A1BB1C的余弦值.49（黑龙江省哈六中2013届高三第一次模拟考试数学（理)试题）如图所示,在四棱锥中,四边形为菱形,为等边三角形,平面平面,且,为的中点.(1)求证:;(2)在棱上是否存在点,使与平
16、面成角正弦值为,若存在,确定线段的长度,不存在,请说明理由.50（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点,向量,点H在AD上,且(I):EF/平面PAD.(II)若PH=,AD=2, AB=2, CD=2AB,(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值. (2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.51（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）17.如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,为与的交点,是线段的中点.()求证:平面;()求证:平面;()求二面角
17、的大小.52（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD/BC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PQB平面PAD; (2)若二面角M-BQ-C为30,设PM=tMC,试确定t的值.【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校理科最新试题精选（一）分类汇编9：立体几何参考答案一、选择题1. B 2. D 3. D 4. D 5. D 6. B 7. C 8. B9. A10. C 11. C 12. C
18、13. C 14. D 15. B 16. D 17. D 18. D 19. D 20. A 21. D 22. D 23. C 24. B 25. B 26. D 27. A 28. A 二、填空题29. 30. 31. 20 32. 33. R=. 34. 35. 三、解答题36.解:设,建立如图所示的坐标系 为的中点,. () 证:, ,平面, 平面 ()证:, ,. 平面, 又平面, 平面平面 ()解:设平面的法向量为,由可得: ,取 又,设和平面所成的角为,则 . 直线和平面所成角正弦值为 37.解:(1)证明:取中点,连结,. 因为,所以 因为四边形为直角梯形, , 所以四边形为
19、正方形,所以 所以平面. 所以 (2)解法1:因为平面平面,且 所以BC平面 则即为直线与平面所成的角 设BC=a,则AB=2a,所以 则直角三角形CBE中, 即直线与平面所成角的正弦值为 解法2:因为平面平面,且 , 所以平面,所以. 由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为三角形为等腰直角三角形,所以,设, 则. 所以 ,平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为, 所以 , 即直线与平面所成角的正弦值为.(参照解法1给步骤分) 38. . 39.证明:(1)连接AC,交BQ于N,连接NM, 另证:AD / BC,BC=AD,Q为AD的中点 BC / DQ 且BC= DQ, 四边
20、形BCDQ为平行四边形,CD / BQ . ADC=90 AQB=90 即QBAD PA=PD, PQAD PQBQ=Q,AD平面PBQ AD平面PAD, 平面PQB平面PAD 40.证明:(1)平面,平面, 在直角梯形中, , 又,平面, 平面,平面平面.(2)以为原点,建立空间直角坐标系,则,设则, 依题意知平面,则为平面的一个法向量, 设为平面的一个法向量,则 即,令,则 所以,则 于是. 设直线与平面所成角为,则, 即直线与平面所成角的正弦值为. 41. ()证明:取的中点为,连结AF,EF BCE正三角形,EFBC,又平面ABC平面BCE,且交线为BC,EF平面ABC ,又AD平面A
21、BCADEF,共面,又易知在正三角形ABC中,AFBC, 平面,又平面 故; ()由()知B在平面的射影为, 故与平面所成角为, 在RtABD中,BD2=AB2+AD2,求得BD=4,在RtBDF中,sinBDF = ; ()设平面和平面所成的二面角为,又知BDE在平面ABC上的射影为BAF 所以 . 注:方法不唯一,只要过程,结论正确给分. 向量法()取的中点为,连结AF,EF BCE正三角形,EFBC,又平面ABC平面BCE,且交线为BC,EF平面ABC,又易知在正三角形ABC中,AFBC CB、AF、FE所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图: 则求得F(0,0,0),D(0,), A
22、(0,0),B(1,0,0), C(-1,0,0),E(0,0,) , ()由()共面,平面, 所以,平面ADE的一个法向量就是,可求得, 设与平面所成角为,则 ()设平面BDE的一个法向量为,由()知平面ABC的一个法向量为,由得令z=1,解得x=,y=1,设平面ABC与平面BDE所成角为 则 注:建系方法不唯一,只要有三线垂直证明及建系说明,坐标正确,运算无误,结论准确,可给满分. 42. () D、E分别为AB、AC中点, PABCED DEBC . DE平面PBC,BC平面PBC, DE平面PBC ()连结PD, PA=PB, PD AB. DEBC,BC AB, DE AB. 又 ,
23、 AB平面PDE. PE平面PDE, ABPE ()平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PD AB, PD平面ABC 如图,以D为原点建立空间直角坐标系 PABCEDxyz B(1,0,0),P(0,0,),E(0,0) , =(1,0, ),=(0, , ). 设平面PBE的法向量, 令 得. DE平面PAB, 平面PAB的法向量为. 设二面角的A-PB-E大小为, 由图知, 所以,即二面角的A-PB-E的大小为 43. ()证明:取线段中点,连结. 因为,所以 因为,所以, DPABCFE又因为,所以,而 所以 因为,所以 即 因为,且 所以平面 ()解:以为坐标原点,以 所
24、在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示: 则四点坐标分别为: ; 设;平面的法向量. 因为点在线段上,所以假设,所以 即,所以 又因为平面的法向量. 所以,所以 所以 因为直线与平面成角正弦值等于,所以. 所以 即.所以点是线段的中点 44. ()证明:取中点,连结. 为正三角形,. 平面平面,平面平面平面 平面, 正方形中,分别为的中点, .又, 平面, ()取中点,以为原点,分别以、的方向为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设. 由题意知,则, 设是平面的法向量, 则即可取, 同理,设是平面的法向量,可取, , 二面角的余弦值 45. (1)取AD中点O,连OP、OB
25、,由已知得:OPAD,OBAD,又OPOB=O,AD平面POB, BCAD,BC平面POB,PB平面POB, BCPB,即PBC=90 (2)如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0),由PO=BO=,PB=3,得POB=120,POz=30, P(0,-,),则=(-1,0),=(-1,0,0),=(0,-),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 则,取z=,则n=(0,1,), 设直线AB与平面PBC所成的角为,则 sin=|cos|= 46.本小题满分12分 47. ()设 交于,连接 , ,又, ()(方法一) ,设,则
26、得 或(舍), , 48. ()侧面是菱形且 为正三角形 又点为的中点 由已知 平面 (法二)如图建立空间直角坐标系 设菱形边长为2 得, , 则, , 设面的法向量,由,得 ,令,得 设面的法向量, 由,得 ,令,得 得. 49.解(1)证明:连接,因为平面平面,为等边三角形,为的中点,所以平面, 因为四边形为菱形,且,为的中点,所以 ,所以面,所以 (2)以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系 因为点在棱上,设,面法向量 , 所以, ,解得, 所以存在点, 50. () 取PA的中点Q,连结EQ、DQ, 则E是PB的中点, ,四边形EQDF为平行四边形, , ()解法一:证明: , PHAD
27、, 又 AB平面PAD,平面PAD,ABPH, 又 PHAD=H, PH平面ABCD; - 连结AE 又且 由()知 , 又 在 又 (2)延长DA,CB交于点M,连接PM,则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线 因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点,所以DM=4, 在中:, , 又因为,所以,即为所求的二面角的平面角 所以在中: 解法二:(向量法)(1)由()可得 又 在平面ABCD内过点,以H为原点,以正方向建立空间直角坐标系 设平面PAB的一个法向量为 , 得y=0 令 得x=3 设直线AF与平面PAB所成的角为 则 (8分 ) (2) 显然向量为平面PAD的一个法向量,且
28、设平面PBC的一个法向量为, , 由得到 由得到,令,则,所以, -10 ,所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为(12分 ) 51.解:()连接,如图,、分别是、的中点,是矩形, 四边形是平行四边形, 平面,平面, 平面 ()建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点、, , ,即, 又,平面. ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5
29、uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u8分 (),平面, 为平面的法向量. , 为平面的法向量. , 与的夹角为,即二面角的大小为 52. (1)AD / BC,BC=AD,Q为AD的中点, 四边形BCDQ为平行四边形,CD / BQ . ADC=90 AQB=90 即QBAD. 又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD=AD, BQ平面PAD. BQ平面PQB,平面PQB平面PAD (2)PA=PD,Q为AD的中点, PQAD. 平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD, PQ平面ABCD. 如图,以Q为原点建立空间直角坐标系. 则平面BQC的法向量为;, ,. 设,则, , , 在平面MBQ中, 平面MBQ法向量为 二面角M-BQ-C为30, ,
