1、专题十八 基本不等式的应用 专题十八 基本不等式的应用 主干知识整合专题十八 主干知识整合 1基本不等式如果a0，b0，那么ab2ab(当且仅当ab时取“”)2基本不等式的常见变形xR，x1x2；a，bR，abba2.a，bR，abab22a2b22；a，bR，abab2 a2b22.专题十八 主干知识整合 3极值定理已知x、yR，xyP，xyS.有下列命题：(1)如果S是定值，那么当且仅当xy时，xy有最小值2 S；(2)如果P是定值，那么当且仅当xy时，xy有最大值P24；(3)应用此结论求最值时要注意三个条件：各项均为正；积或和为定值；各项都能取得相等的值，简单地说“一正，二定，三相等”
2、要点热点探究专题十八 要点热点探究 探究点一 用基本不等式求最值利用基本不等式求最值，主要指的是利用极值定理来求解常见基本不等式模型为若ax0，bx0，则axbx2 ab.专题十八 要点热点探究 例1(1)已知f(x)log2(x2)，若实数m，n满足f(m)f(2n)3，则mn的最小值是_(2)不等式a23b2b(ab)对任意a、bR恒成立，则实数的最大值为_专题十八 要点热点探究(1)7(2)2【解析】(1)由log2(m2)log2(2n2)3，得(m2)(n1)4，则m4n12，所以mn4n12n4n1(n1)32 437(当且仅当“n3”时，取等号)，故mn的最小值为7.(2)因为要
3、求的最大值，所以只需要考查b(ab)0的情况假设b(ab)0，所以由a23b2b(ab)a23b2abb2 ab23ab1，设abt0，设h(t)t23t1t122t14t1(t1)4t122t1 4t122(当t1时取等号)h(t)的最小值为2，故的最大值为2.专题十八 要点热点探究【点评】(1)本题所给条件中f(m)f(2n)3是提供m，n之间的关系，然后代入消元后，转化为yax bx 类型的问题进行研究，其中要注意的是4n1 2不可以直接用基本不等式求最小值，应该先构造“积”定(2)本题不同于上一题的代入消元，而是运用了整体思想将a23b2abb2 化成ab23ab1，再换元后变成(t1
4、)4t12，利用基本不等式求最值专题十八 要点热点探究 2010四川卷 设ab0，则a2 1ab1aab的最小值是_ 4【解析】原式a2abab 1ab1aabab 1aba(ab)1aab224.当且仅当ab1，a(ab)1时等号成立如取a 2，b 22 满足条件专题十八 要点热点探究 探究点二 多元问题处理多元问题在处理时方法有三种：一是消元；二是整体思想；三是运用极端假设法去掉某些元素，最终实现减少变元的目的例2若实数x，y，z，t满足1xyzt10000，则xyzt的最小值为_专题十八 要点热点探究 150 【解析】欲使 xy zt 值越小，必须使分子x最小，分母t最大，从而取x1，t
5、10000，得xy zt 1y z100002z10000y 150zy 150，所以最小值为 150.【点评】本题含有四个变量，只有通过极端原理，将其中两个变量确定后，再由基本不等式求最小值对未知数的认识，可以是一个字母，也可以是一个整式专题十八 要点热点探究 若a，b，c0，且a2abacbc4，则2abc的最小值为_4【解析】由题意，(ab)(ac)4，(ab)(ac)2 abac4.专题十八 要点热点探究 例3心理学家研究某位学生的学习情况后发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y14x4；若在t(t0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复
6、习的时间忽略不计)，其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为at42(a4)，所以yy2y1at42(xt)8t4 4x4(t4)(1)当a1，t5时，y 1542(x5)854 4x4x481 4x412481159，当且仅当x14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天(2)yat42(xt)8t4 4x4ax4t42 4x4 8t4at4t4224at428at4，当且仅当ax4t42 4x4即x2a(t4)4时取等号，由题意2a(t4)4t，所以4a0，b0)的值域，主要依据基本不等式及函数的单调性应用基本不等式求最值，有两个注意点，一是等号不成立时，要研究函数
7、的单调性；二是基本不等式只能求最大值或最小值，不能求出完整值域专题十八 江苏真题剖析 江苏真题剖析例 2008江苏卷 设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则y2xz的最小值是_【分析】用基本不等式处理对于多元问题，首先需要将其转化为二元问题，方法有两种：一是代入消元；二是整体思想本题中用的是消元，换掉了y，并将xz看作整体专题十八 要点热点探究【答案】3【解析】由x2y3z0得yx3z2，代入y2xz得x29z26xz4xz6xz6xz4xz3，当且仅当x3z时取“”专题十八 要点热点探究 已知正实数x，y，z满足2xx1y 1z yz，则 x1yx1z 的最小值为_ 2【解析】由题知2x
8、x1y1z yz，即x2xyxzyz2，于是可将给定代数式化简得x1y x1z x2xyxz 1yzyz2 1yz2yz2 1yz 2，当且仅当yz 2时取等号专题十八 要点热点探究 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；若他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为ana，如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为 h1h2.现假设甲生产A，B两种产品的单价成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单价成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖
9、出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙(1)求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mA35mB时，求证：h甲h乙；(2)设mA35mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)设(2)中的最大综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由 专题十八 要点热点探究【解答】设mAx，mBy.(1)证明：甲买进产品A的满意度：h1甲 12x12；甲卖出产品B的满意度：h2甲 yy5.甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲12x12 yy5；同理，乙卖出产品A和买进产品
10、B的综合满意度：h乙xx3 20y20.当x35y时，h甲12x12 yy51235y12 yy520yy20y5，h乙xx3 20y2035y35y3 20y2020yy20y5，故h甲h乙专题十八 要点热点探究(2)当x 35 y时，由(1)知h甲h乙20yy20y5，因为20yy20y5 20y100y 2549，且等号成立当且仅当y10.当y10时，x6，因此，当mA6，mB10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为23.(3)由(2)知h023，因为h甲h乙12x12 yy5 xx3 20y2012x36x 1520y100y 2549，所以，当h甲23，h乙23时，有h甲h乙23.因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲h0和h乙h0同时成立，但等号不同时成立专题十八 要点热点探究【点评】本题中的关键是对题干中的“满意度”和“综合满意度”的理解，建立好对应的函数模型后，对于形如ydxax2bxc(a，d0)这样的函数，可以用基本不等式求解值域
