1、专题十四 等差、等比数列的性质 专题十四 等差、等比数列的性质 主干知识整合专题十四 主干知识整合 专题十四 主干知识整合 专题十四 主干知识整合 2.证明数列是等差或等比数列的方法(1)等差数列定义法：an1and(nN*)；等差中项法：2an1anan2(nN*)(2)等比数列定义法：an1an q(nN*)；等比中项：a2n1anan2(nN*)要点热点探究专题十四 要点热点探究 探究点一 等差、等比中项性质等差中项和等比中项不仅仅可以解决两项和(积)之间的等量关系，也可以进一步推广至若干项如，若 mnprst，则等差数列有 amanaparasat；等比数列有amanaparasat.
2、专题十四 要点热点探究 例 1(1)2011广东卷 等差数列an前 9 项的和等于前 4项的和若 a11，aka40，则 k_.(2)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a35，a7a8a910，则 a1a2a9_.专题十四 要点热点探究 (1)10(2)5032【解析】(1)由 S9S4，所以 a5a6a7a8a90，即 5a70，所以 a70，由 a7a16d 得 d16，又 aka40，即 a1(k1)16 a1316 0，即(k1)16 32，所以 k19，所以 k10.(2)由等比数列的性质知 a1a2a3(a1a3)a2a325，a7a8a9(a7a9)a8a3810，所以 a
3、2a85013，所以 a1a2a9a95(a2a8)95032.专题十四 要点热点探究【点评】等差中项和等比中项的本质是整体思想运用，用来实现等量项之间的代换这是在数列运用基本量研究外的一个重要的处理问题的手段专题十四 要点热点探究 设等差数列an的公差为正数，若 a1a2a315，a1a2a380，则 a11a12a13_.105【解析】由条件可知，a25，从而 a1a310，a1a316，得 a12，a38，公差为 3，所以 a11a12a136(101112)3105.专题十四 要点热点探究 探究点二 数列单调性的研究数列的单调性研究方法有三种：一是用数列的单调性的定义，如 an1an；
4、二是若数列是等差或等比数列可以观察其通项的系数特征；三是可以构造相应的函数，通过函数单调性得到对应数列的单调性专题十四 要点热点探究 例 2有 n 个首项都是 1 的等差数列，设第 m 个数列的第 k 项为amk(m，k1,2,3，n，n3)，公差为 dm，并且 a1n，a2n，a3n，ann 成等差数列且 dm(2m)d1(m1)d2.(1)当 d11，d23 时，将数列dm分组如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，(每组数的个数构成等差数列)设前 m 组中所有数之和为(cm)4(cm0)，求数列2cndn的前 n 项和Sn；(2)设 N 是不超过 20 的
5、正整数，当 nN 时，对于(1)中的 Sn，求使得不等式 150(Sn6)dn 成立的所有 N 的值专题十四 要点热点探究【解答】(1)当 d11，d23 时，dm2m1(mN*)数列dm分组如下：(d1)，(d2，d3，d4)，(d5，d6，d7，d8，d9)，按分组规律，第 m 组中有(2m1)个奇数，所以第 1 组到第 m 组共有 135(2m1)m2 个奇数注意到前 k 个奇数的和为 135(2k1)k2，所以前 m2 个奇数的和为(m2)2m4.即前 m 组中所有数之和为 m4，所以(cm)4m4.因为 cm0，所以 cmm，从而 2cmdm(2m1)2m(mN*)所以 Sn1232
6、2523724(2n3)2n1(2n1)2n，2Sn122323524(2n3)2n(2n1)2n1，故Sn222222322422n(2n1)2n12(222232n)2(2n1)2n1222n121 2(2n1)2n1(32n)2n16.所以 Sn(2n3)2n16.专题十四 要点热点探究(2)由(1)知 dn2n1(nN*)，Sn(2n3)2n16(nN*)故不等式 150(Sn6)dn 就是(2n3)2n150(2n1)考虑函数 f(n)(2n3)2n150(2n1)(2n3)(2n150)100.当 n1,2,3,4,5 时，都有 f(n)0，即(2n3)2n10，注意到当 n6 时
7、，f(n)单调递增，故有 f(n)0.因此当 n6 时，(2n3)2n150(2n1)成立，即 150(Sn6)dn 成立所以，满足条件的所有正整数 N6,7，20.专题十四 要点热点探究【点评】本题第二小问构造了函数 f(n)(2n3)(2n150)100，其中所构成的函数为一次函数与指数函数的乘积函数，由于 g(n)2n3，h(n)2n150 都是单调递增函数，但不是恒正，故只有当n6 时才能保证恒正，这样得到的函数 f(n)才是单调递增函数，前五项的性质，可以代入后一一进行比较专题十四 要点热点探究(1)已知数列an为等差数列，若a5a61，则数列|an|的最小项是第_项(2)已知数列a
8、n满足 a133，an1an2n，则ann 的最小值为_专题十四 要点热点探究(1)6(2)212 【解析】(1)由a5a60，则 a5a6|a6|，此时|an|中第 6 项最小；若 a6a60，此时等差数列为递减数列，|a5|a6|，仍然有|an|中第 6 项最小故|an|中的最小项是第 6 项(2)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1212(n1)33n2n33，所以ann n33n 1，设函数 f(x)x33x 1，则 f(x)133x2，从而在(33，)上函数 f(x)为增函数，在(0，33)上函数 f(x)为减函数，因为 nN，所以ann 在 33附近的整数取得最小值，
9、由于a55 535，a66 212，所以当 n6 时，ann 有最小值为212.专题十四 要点热点探究 探究点三 等差、等比数列的证明等差、等比数列的证明方法有两种：一是用数列的定义；二是等差中项或等比中项，但其本质都是根据条件寻求相邻两项或几项之间的关系专题十四 要点热点探究 例 3已知数列an，bn满足 bnan1an，其中 n1,2,3，.(1)若 a11，bnn，求数列an的通项公式；(2)若 bn1bn1bn(n2)，且 b11，b22.记 cna6n1(n1)，求证：数列cn为等差数列专题十四 要点热点探究【解答】(1)当 n2 时，有ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)
10、a1b1b2bn11n1n2n22 n21.又因为 a11 也满足上式，所以数列an的通项为 ann22 n21.(2)因为对任意的 nN*有 bn6bn5bn4 1bn3bn1bn2bn，所以 cn1cna6n5a6n1b6n1b6nb6n1b6n2b6n3b6n4122112127(n1)，所以数列cn为等差数列专题十四 要点热点探究【点评】本题中cn是由an构成，而数列an又由数列bn构成，所以本题要证明数列cn是等差数列，其本质还是论证数列bn的特征，其中 bn6bn 是数列周期性的证明规律技巧提炼专题十四 规律技巧提炼 1等差、等比数列性质很多，在江苏卷的考查中以等差中项和等比中项的
11、考查为主，在运用该技巧时，要注意该等式两边的项数必须相等即两项与两项互换，三项与三项互换2在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究3由一个数列构造生成的新数列，再证明其是否是等差或等比数列时，如果已经有通项公式，则可以直接由通项公式的特征判断，如果只有递推关系，则需要用定义来证明专题十四 江苏真题剖析 江苏真题剖析例 2009江苏卷 设an是公比为 q的等比数列，|q|1，令 bnan1(n1,2，)，若数列bn有连续
12、四项在集合53，23,19,37,82中，则 6q_.【答案】9【解析】由条件知数列an中连续四项在集合54，24，18,36,81中，由|q|1，所以an中连续四项可能为(1)24，36，54,81，q32，6q9；(2)18，24,36，54，(该数列不成等比数列，不合题意)；其他情形都不符合专题十四 要点热点探究 三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是_ 2 或12【解析】设这三个数分别为 ad，a，ad(d0)，由于 d0，所以 ad，a，ad 或 ad，a，ad 不可能成等比数列；若 ad，ad，a 或 a，ad，ad 成等比数
13、列，则(ad)2a(ad)，即 d3a，此时 qaa3a12或 qa3aa2；若 a，ad，ad 或 ad，ad，a 成等比数列，则(ad)2a(ad)，即 d3a，此时 qa3aa2 或 qa3aa3a12.故 q2 或12.专题十四 要点热点探究 2009江苏卷 设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前 n 项和，满足 a22a23a24a25，S77.(1)求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)试求所有的正整数 m，使得amam1am2 为数列an中的项 专题十四 要点热点探究 解答】(1)设公差为 d，则 a22a25a24a23，由性质得3d(a4a3)d(a4a3)因为
14、d0，所以 a4a30，即 2a15d0.又 S77 得 7a1762 d7，解得 a15，d2，所以an的通项公式为 an2n7，前 n 项和 Snn26n.(2)解法 1：amam1am2 2m72m52m3，设 2m3t，则amam1am2 t4t2tt8t6，所以 t 为 8 的约数因为 t 是奇数，所以 t 可取的值为1，当 t1，m2 时，t8t63,2573，是数列an中的项；当 t1，m1 时，t8t615，数列an中的最小项是5，不符合所以满足条件的正整数 m2.解法 2：因为amam1am2 am24am22am2am26 8am2为数列an中的项，故 8am2为整数，又由(1)知 am2 为奇数，所以 am22m31，即 m1,2.经检验，符合题意的正整数m 为 2.
