1、专题十一 平面向量的坐标运算及数量积 专题十一 平面向量的坐标 运算及数量积 主干知识整合专题十一 主干知识整合 1平面向量的数量积 ab|a|b|cos.2平面向量的坐标运算若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘a(x1，y1)向量共线abx1y2x2y10距离公式|AB|x1x22y1y22数量积abx1x2y1y2模|a|x21y21垂直abx1x2y1y20专题十一 主干知识整合 3.核心问题(1)有关数量积的基本运算(2)有关数量积的定值和最值问题(3)用三角函数研究与向量有关的问题要点热点探究专题十一 要点热点探究
2、 探究点一 平面向量的数量积基本运算平面向量的数量积的基本运算主要包含以下几个方面：一是用定义法或坐标法求解数量积；二是求解向量的模；三是求解向量的夹角例 1 (1)设向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，其中0，若|2ab|a2b|，则 _.(2)在ABC 中，AB1，AC2，O 为ABC 外接圆的圆心，则AO BC _.专题十一 要点热点探究(1)2(2)32【解析】(1)方法一：由|2ab|a2b|得 3a28ab3b20，即 ab0，从而 cos()0.又 0，故 00)，APO，则APB2，PO 1x2，sin11x2，PAPB|PA|PB|cos2x2(12sin2)x
3、2x21x21 x4x2x21，设PAPBy，则 yx4x2x21，即 x4(1y)x2y0，由 x2 是实数，所以(1y)241(y)0，y26y10，解得 y32 2或 y32 2.故(PAPB)min32 2.此时 x21.专题十一 要点热点探究 探究点三 用三角函数研究向量中的参数取值范围问题在用坐标研究向量问题时，涉及参数取值范围时，建立参数与坐标之间的函数关系较为困难或建立后没有办法研究时，可以用对应的三角函数值表示向量的坐标，再建立参数与三角函数的关系，也是研究问题的一个途径例 3 如图 112，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，P 为以 A 为圆心、AB 为半径的圆
4、弧上的任意一点，设向量AC DE AP，则 的最小值为_图 112专题十一 要点热点探究 12【解析】以 A 为原点，AB 为 x 轴正方向，AD 为 y 轴正方向，建立直角坐标系设 P(cos，sin)，0，2，因为AC(1,1)，DE 12，1，AP(cos，sin)，由题意得：112cos，1sin，解得 32cossin.又 sin1，所以(sin1)1 31sin2cossin1.专题十一 要点热点探究 设 y1sin2cossin，则 ycos2cossin1sincos2sin2cossin222sincos2cossin2，设()22sincos，所以()2cossin，因为
5、0，2，所以()2cossin0，即()22sincos 在0，2 递增，则()1,4，所以 y22sincos2cossin2 0，即 y1sin2cossin在0，2 递增，所以()min12.专题十一 要点热点探究【点评】本题比较困难的是想到将点 P 坐标设为三角函数，从而引入三角函数来表示参数，之间的关系，本题的第二个难点就是对所得函数的进行一步研究比较困难，其中对于式子22sincos2cossin2 的正负研究，需要进行再一次的求导专题十一 要点热点探究 平面内两个非零向量，满足|1，且 与 夹角为 135，则|的取值范围_ 0，2 【解析】如图所示，在OAB 中，设OBA，所以
6、OBsin45 OAsin，即|a|OA 2sin，又 0，34，故|a|(0，2规律技巧提炼专题十一 规律技巧提炼 1向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面，有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算2研究向量，一般有两个途径，一是建立直角坐标用坐标研究向量间的问题，二是用基底向量来研究3与向量数量积有关的最值或参数的取值范围，可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究，也可以考虑其几何意义，从几何角度来研究专题十一 江苏真题剖析 江苏真题剖析例 2010江苏卷 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，2)、B(2,3)、C(2，1)(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平
7、行四边形两条对角线的长；(2)设实数 t 满足(AB tOC)OC 0，求 t 的值【分析】本题中的向量问题，主要是给出几何条件如第一小问给出了平行四边形的条件，第二小问数量积的几何特征在向量的数量积的运算考查中一般有两种一是坐标考查；二是定义考查【解答】(1)法 1：设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交点为 E，则 E 为 B、C 的中点(0,1)，又 E(0,1)为 A、D的中点，所以 D(1,4)两条对角线的长分别为 BC4 2、AD2 10.法 2：由题设知AB(3,5)，AC(1,1)，则AB AC(2,6)，AB AC(4,4)所以|AB AC|2 10，|AB AC|
8、4 2.故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.(2)由题意知：AB OC tOC 2，AB(3,5)，tAB OC|OC|2 115.专题十一 江苏真题剖析 在ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，设向量 x(sinB，sinC)，向量 y(cosB，cosC)，向量 z(cosB，cosC)，若 z(xy)，求 tanBtanC 的值 专题十一 江苏真题剖析【解答】xy(sinBcosB，sinCcosC)，由 z(xy)，得 cosC(sinBcosB)cosB(sinCcosC)0，即 sinBcosCcosBsinC2cosBcosC.所以sinBcosCcosBsinCcosBcosCtanBtanC2.专题十一 江苏真题剖析
