1、21.2函数的表示方法1.了解简单分段函数的定义2.了解函数的三种表示方法3.掌握用待定系数法、换元法求函数的解析式 学生用书P201函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法(1)解析法就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法(2)列表法就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法(3)图象法就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法2分段函数对于一个函数，在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这种函数通常叫做分段函数1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)分段函数由几个函数构成()(2)函数f(x)是分段函数()(3)所有函数都可以用函数的三种表示法来表示()(4)分
2、段函数的定义域是不唯一确定的()答案：(1)(2)(3)(4)2已知f(x)x2x2，则f()_，f(f(3)_，f_，f(ab)_解析：f()()225；f(3)32328，所以f(f(3)f(8)58；f2；f(ab)(ab)2(ab)2.答案：5582(ab)2(ab)23已知函数yx22x1，其中xR，则函数的值域为_解析：函数yx22x1(x1)22的图象如图所示当xR时，观察图知y2，即值域为(，2答案：(，2函数的表示方法学生用书P21某同学购买x(x1，2，3，4，5)张价格为20元的科技馆门票，需要y元试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数【解】(1)列表法：x/张1234
3、5y/元20406080100(2)图象法：如图所示(3)解析法：y20x，x1，2，3，4，5函数的常用表示方法有三种：解析法，图象法和列表法，要注意三者之间的区别与联系针对不同的问题，选取表示的方法不一定相同，恰当准确地描述出变量之间的函数关系是目的 1.在学校的洗衣店每洗一次衣服(4.5千克以内)需付费4元，如果在这家洗衣店洗衣10次以后可以免洗一次(1)根据题意填写下表；第n次洗衣59101115第n次洗衣的费用C(2)“费用C是第n次洗衣”的函数，还是“第n次洗衣是费用C的函数”？(3)写出函数的解析式解：(1)第n次洗衣59101115第n次洗衣的费用C44404(2)由函数的定义
4、知，费用C是第n次洗衣的函数(3)C求函数的解析式学生用书P21根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f，求f(x)；(2)若f(x)是二次函数，且f(2)3，f(2)7，f(0)3，求f(x)【解】(1)设t，则x(t0)，代入f，得f(t)，故f(x)(x0)(2)设f(x)ax2bxc(a0)因为f(2)3，f(2)7，f(0)3.所以解得所以f(x)x2x3.待定系数法是求函数解析式的常用方法，若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)kxb(k0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)ax2bxc(a0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进
5、而求出待定的系数 2.已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的表达式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c.由f(x1)f(x1)2x24x，知2ax22bx2a2c2x24x.故有解得所以f(x)x22x1.分段函数求值问题学生用书P22已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，f的值；(2)若f(a)3，求实数a的值；(3)若f(m)m(m2或m2)，求实数m的取值范围【解】(1)由5(，2，(2，2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32，因为f1，且22，
6、不合题意，舍去当2am，当m2时，f(m)m1m恒成立，故m2；当m2时，f(m)2m1m，解得m1.故m2.所以，m的取值范围是(，22，)(1)求分段函数的函数值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，再代入相应的解析式求得(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理 3.已知函数f(x)若f(x)2，求x的取值范围解：当x2时，f(x)x2，由f(x)2，得x22，解得x0，故x0；当x2，得x22，解得x4，故x0或x4.分段函数图象问题学生用书P22已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象【解】(1)当0x2时，f(
7、x)11，当2x0时，f(x)11x.所以f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象 (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏4.分别作出下列分段函数的图象，并写出定义域及值域(1)y(2)y(3)y|x1|.解：各函数对应图象如下所示：由图象知，(1)的定义域是(0，)，值域是1，)；(2)的定义域是(，)，值域是(6，6；(3)的定义域是(，)，
8、值域是0，).1对分段函数的三点说明(1)分段函数是一个函数，只不过是在定义域的不同子区间上的函数解析式不同而已(2)分段函数的定义域是各段自变量取值的并集，值域是各段因变量取值的并集(3)分段函数的图象应分段来作，应特别注意各段图象的端点是用实心点还是空心点来表示2求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式(2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)t，反解出x，然后代入f(g(x
9、)中求出f(t)，从而求出f(x)求下列函数的解析式：(1)已知f(1)x2，求f(x)；(2)已知2ff(x)x(x0)，求f(x)解(1)法一(配凑法)：因为f(1)x2，所以f(1)()2211(1)21，其中，11.所以，f(x)x21(x1)法二(换元法)：令1t，则x(t1)2，且t1.则f(t)(t1)22(t1)t21.故f(x)x21(x1)(2)用代替x，得2f(x)f.于是得关于f(x)的方程组解得f(x)(x0)(1)抓关键，促规范配凑法的关键是将已知的f(g(x)的表达式中“配凑”出g(x)，如本题将f(1)x2的表达式x2“配凑”为(1)21，即“配凑”出(1)不要
10、忽视定义域的确定换元后不要忽视所换元的取值范围的确定，它将决定最后的函数定义域方程组法求解析式的关键是构造方程组(2)求解析式的方法配凑法：已知f(g(x)的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x)的解析式中拼凑出g(x)，即用g(x)来表示f(x)，再将解析式两边的g(x)用x代替即可换元法：已知f(g(x)h(x)，求f(x)，可设g(x)t，解出x，代入h(x)方程组法：已知f(x)与f(g(x)满足的关系式，要求f(x)时，可用g(x)代替两边所有的x，得出关于f(x)与f(g(x)的方程组，消去f(g(x)解出f(x)即可1已知函数f(2x1)6x5，则f(x)的解析式是()Af(x
11、)3x2Bf(x)3x1Cf(x)3x1 Df(x)3x4解析：选A.法一：令2x1t，则x.所以f(t)653t2，所以f(x)3x2.法二：因为f(2x1)3(2x1)2，所以f(x)3x2.2函数f(x)则f(1)的值为_解析：因为10，所以f(1)f(11)f(0)0.答案：03若函数yf(x)的图象如图所示，则其表达式为_答案：f(x)4写出下列函数的解析式，并作出函数图象(1)设函数yf(x)，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)2；(2)设函数yf(x)，当x1时，f(x)x1；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)x1.解：(1)f(x)图象如图(1)所示(2)f(x)
12、图象如图(2)所示学生用书P91(单独成册)A基础达标1设f(x)2x3，g(x)f(x2)，则g(x)等于()A2x1B2x1C2x3D2x7解析：选B.因为f(x)2x3，所以f(x2)2(x2)32x1，即g(x)2x1，故选B.2已知函数f(x1)x23，则f(2)的值为()A2 B6 C1 D0解析：选B.法一：令x1t，则xt1，所以f(t)(t1)23，所以f(2)(21)236.法二：f(x1)(x1)22(x1)2，所以f(x)x22x2，所以f(2)222226.法三：令x12，所以x3，所以f(2)3236.3已知函数yf(x)的对应关系如表所示，函数yg(x) 的图象是
13、如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2)的值为()x123f(x)230A.3 B2 C1 D0解析：选B.由函数g(x)的图象知，g(2)1，则f(g(2)f(1)2.4已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2x17，则f(x)等于()A.x5 Bx1 C2x3 D2x1解析：选A.因为f(x)是一次函数，所以设f(x)axb(a0)，由3f(x1)2x17，得3a(x1)b2x17，整理得3ax3(ab)2x17，所以所以所以f(x)x5，故选A.5一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至
14、少打开一个水口)给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水则正确论断的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故错6.已知函数yf(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为_解析：观察图象可得y的取值范围为0，1答案：0，17已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为_解析：正方形边长为，而(2y
15、)2，所以y2.所以yx.答案：yx8某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费用水超过10立方米的，超过部分按每立方米 2m元收费某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y由y16m，可知x10.令2mx10m16m，解得x13(立方米)答案：13立方米9.已知函数pf(m)的图象如图所示求：(1)函数pf(m)的定义域；(2)函数pf(m)的值域；(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应解：(1)观察函数pf(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是3m0
16、或1m4，由图知定义域为3，01，4(2)由图知值域为2，2(3)由图知：p(0，2时，只有唯一的m值与之对应10.如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示APB的面积，求函数yf(x)的解析式解：当点P在BC上运动，即0x4时，y4x2x；当点P在CD上运动，即4x8时，y448；当点P在DA上运动，即8x12时，y4(12x)242x.综上可知，f(x)B能力提升1设f(x)2xa，g(x)(x23)，且g(f(x)x2x1，则a的值为()A1 B1C1或1 D1或2解析：选B.因为g(x)(x23)，所以g(f(x)(2x
17、a)23(4x24axa23)x2x1，求得a1.故选B.2已知等腰三角形的周长为24，它的底边y与腰长x的函数解析式为_解析：因为2xy24，所以y242x.因为所以6x12.故解析式为y242x，x(6，12)答案：y242x，x(6，12)3设f(x)是R上的函数，且满足f(0)1，并且对任意实数x，y，有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的表达式解：法一：由f(0)1，f(xy)f(x)y(2xy1)，设xy，得f(0)f(x)x(2xx1)因为f(0)1，所以f(x)x(2xx1)1，即f(x)x2x1.法二：令x0，得f(0y)f(0)y(y1)，即f(y)1y(y1)再
18、令yx，代入上式，得f(x)1(x)(x1)1x(x1)即f(x)x2x1.4(选做题)如图，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，且AGBC，DHBC，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出l左侧图形的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象解：因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm.又BC7 cm，所以ADGH3 cm.当点F在BG上时，即x(0，2时，yx2；当点F在GH上时，即x(2，5时，y222(x2)2x2；当点F在HC上时，即x(5，7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.综上，l左侧图形的面积y其图象如图
