1、热点题型探究专题限时集训专题十五 直线与圆 题型一|直线与方程(1)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_(2)垂直于直线 yx1 且与圆 x2y21 相切于第一象限的直线方程是_(1)5(2)xy 20(1)直线 xmy0 与 mxym30 分别过定点 A，B，A(0,0)，B(1,3)当点 P 与点 A(或 B)重合时，|PA|PB|为零；当点 P 与点 A，B 均不重合时，P 为直线 xmy0 与 mxym30的交点，且易知此两直线垂直，APB 为直角三角形，|AP|2|BP|2|AB|210，|P
2、A|PB|PA|2|PB|22102 5，当且仅当|PA|PB|时，上式等号成立(2)由垂直于直线 yx1 可设直线方程为 xyb0，则有|b|12121，b 2，又切点在第一象限，故直线方程为 xy 20.【名师点评】两直线位置关系的判定方法：1给定两条直线 l1：yk1xb1 和 l2：yk2xb2，则有下列结论：l1l2k1k2 且 b1b2；l1l2k1k21.2若给定的方程是一般式，即 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20，则有下列结论：l1l2A1B2A2B10 且 B1C2B2C10 或 A1C2A2C10；l1l2A1A2B1B20.1(2016南京二模)若直
3、线 l1：x2y40 与 l2：mx(2m)y30 平行，则实数 m 的值为_23 由题意得：m12m234m23.2(2016南通调研一)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,0)，B(4,0)若直线xym0 上存在点 P，使得 PA12PB，则实数 m 的取值范围是_2 2，2 2 法一：设满足条件 PB2PA 的 P 点坐标为(x，y)，则(x4)2y24(x1)24y2，化简得 x2y24.要使直线 xym0 有交点，则|m|22.即2 2m2 2.法二：设直线 xym0 有一点(x，xm)满足 PB2PA，则(x4)2(xm)24(x1)24(xm)2.整理得 2x22mxm24
4、0.(*)方程(*)有解，则 4m28(m24)0，解得2 2m2 2.3过点 P(4,0)的直线 l 与圆 C：(x1)2y25 相交于 A，B 两点，若点 A恰好是线段 PB 的中点，则直线 l 的方程为_【导学号：91632045】x3y40 如果直线 l 与 x 轴平行，则 A(1 5，0)，B(1 5，0)，A不是 PB 中点，则直线 l 与 x 轴不平行；设 l：xmy4，圆心 C 到直线 l 的距离 d5m21，令 AB 中点为 Q，则 AQ 5d2，PQ3AQ3 5d2，在RtCPQ 中，PQ2CQ2PC2，得 d252 251m2，解得 m3，则直线 l 的方程为 x3y40
5、.题型二|圆的方程(1)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x轴所得弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程是_(2)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2y24x8y190 关于直线 l：x2y50 对称的圆 C2 的方程为_(1)(x2)2(y1)24(2)x2y21(1)设圆 C 的圆心为(a，b)(b0)，由题意得 a2b0，且 a2(3)2b2，解得 a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.(2)由圆 C1：x2y24x8y190 化简可得该圆圆心为(2,4)，半径为 1，则圆心(2,4)关于直线 l：x2y50 的对称点满足y4x
6、22，x222y4250，可解得x0，y0，故圆 C2 的方程为 x2y21.【名师点评】求圆的方程的两种方法1.几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.2.代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.1(2015江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(mR)相 切 的 所 有 圆 中，半 径 最 大 的 圆 的 标 准 方 程 为_(x1)2y22 直线 mxy2m10 经过定点(2，1)当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径 r 满足 r2(12)2(01)22.2已
7、知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：yx1 被该圆所截得的弦长为 2 2，则圆 C 的标准方程为_【导学号：91632046】(x3)2y24 设圆心坐标为(a,0)(a0)，由于圆过点(1,0)，则半径 r|a1|，圆心到直线 xy10 的距离为 d|a1|2.由弦长为 2 2可知|a1|22(a1)22，解得(a1)24，所以 a3 或 a1(舍去)故圆心为(3,0)，半径为 2，所求圆的方程为(x3)2y24.3当且仅当 ar0)上恰好有两点到直线 3x4y150 的距离为 2，则以(a，b)为圆心，且和直线 4x3y10 相切的圆的方程为_(x1)2(y5)
8、24 因为圆心(0,0)到直线 3x4y150 的距离 d|15|32423.结合图形可知，圆上恰好有两点到直线 3x4y150 的距离为 2的充要条件是|r3|2，即 1r5，由题意知 a1，b5，所以圆心为(1,5)，则圆心(1,5)到直线 4x3y10 的距离为|41531|42322.所以所求圆的方程为(x1)2(y5)24.题型三|直线与圆、圆与圆的位置关系(1)(2016苏中三市二调)在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(2,0)的直线与圆 x2y21 相切于点 T，与圆(xa)2(y 3)23 相交于点 R，S，且 PTRS，则正数 a 的值为_(2)(2016南京三模)在平面
9、直角坐标系 xOy 中，圆 M：(xa)2(ya3)21(a0)，点 N 为圆 M 上任意一点若以 N 为圆心，ON 为半径的圆与圆 M 至多有一个公共点，则 a 的最小值为_(1)4(2)3(1)由题意得 PT 221 3，kPT 33，PT：y 33(x2)，即 x 3y20，又 RSPT 3，所以圆(xa)2(y 3)23 的圆心到直线PT 的距离为332232，从而|a1|232，因此正数 a 的值为 4.(2)由题意得圆 N 与圆 M 内切或内含，即 MNON1ON2，又 ONOM1，所以 OM3.a2a323a3 或 a0(舍)因此 a 的最小值为 3.【名师点评】1.与弦长有关的
10、问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长l2构成直角三角形的关系来处理.2.讨论点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.1已知直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)24 相交于 A，B两点，且ABC 为等边三角形，则实数 a_.4 15 由ABC 为等边三角形知，圆心 C 到直线 AB 的距离为 3，所以|aa2|a21 3，解得 a4 15.2已知方程 x2 xtan 1sin 0 有两个不等实根 a 和 b，那么过点 A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆 x2y21 的位置关系是_相切
11、 可求出过 A，B 两点的直线方程为(ab)xyab0，圆心到直线 AB 的距离为 d|ab|ab21，而 ab 1tan，ab 1sin，因此 d1sin 1tan21，化简后得 d1，故直线与圆相切3已知圆 x2y24，点 M(4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆 O 交于A，B 两点，则ABM 的外接圆的面积的最小值为_254 如图，设AMB 为.在ABM 中，AB4，由正弦定理可知，ABM 的外接圆半径 R AB2sin 2sin.要使 R 最小，只需 sin 最大，显然当且仅当 AB 与 y 轴重合时，最大，此时 tan 212，tan 43，sin 45.R52，故ABM 的外接圆的面积为254.专题限时集训（十六）点击图标进入