1、热点题型探究专题限时集训专题十 高考中的三角函数 高考命题视角题型一|三角恒等变换(2016南京盐城二模)已知 为锐角，cos4 55.(1)求 tan4 的值；(2)求 sin23 的值解(1)因为 0，2，所以 44，34，所以 sin4 1cos24 2 55，3 分 所以 tan4 sin4cos42.6 分(2)因为 sin22 sin24 2sin4 cos4 45，9 分 cos22 cos24 2cos24 135，12 分 所以 sin23 sin22 6 sin22 cos6cos22 sin64 3310.14 分【名师点评】1.本题2在求解中，从角“23”与角“4”的关
2、系入手，先求 cos22，再求 sin23 的值，避免了复杂的运算.2.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系.已知 02，tan212，cos()210.(1)求 sin 的值；(2)求 的值解(1)tan212，tan 2tan21tan22212112243.3 分 由tan sin cos 43，sin2cos21，5 分 解得 sin 45sin 45舍去.6 分(2)由(1)可知 cos 1sin2145235，又 02，8 分(0，)，而 cos()210
3、，10 分 sin()1cos2121027 210.11 分 sin sin()sin cos()cos sin()45 210357 210 22.13 分 又 2，故 34.14 分题型二|正、余弦定理 在ABC 中，已知ABAC3BABC.(1)求证：tan B3tan A；(2)若 cos C 55，求 A 的值解题指导(1)ABAC3BABC数量积的定义 ABACcos A3BABCcos B 正弦定理 证明tan B3tan A(2)cos C 同角关系tan C 诱导公式tan(AB)正切公式tan A A的范围求 A.解(1)证明：因为ABAC3BABC，所以 ABACcos
4、 A3BABCcos B，2 分 即 ACcos A3BCcos B由正弦定理知 ACsin B BCsin A，从而 sin Bcos A3sin Acos B4 分 又因为 0AB0，cos B0，所以 tan B3tan A6 分(2)因为 cos C 55，0C0，所以 tan A1，所以 A4.14 分【名师点评】求解此类问题的关键是将几何问题代数化，基本工具是正余弦定理.若要把“边”化为“角”，常利用 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，若要把“角”化为“边”，常利用 sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R，cos Ca2b2c22ab等.在锐
5、角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(b2c2a2)tan A 3bc.(1)求角 A；(2)若 a2，求ABC 的面积 S 的最大值【导学号：91632032】解(1)由已知得b2c2a22bcsin Acos A 32，所以 sin A 32，4 分 又因为ABC 为锐角三角形，所以 A60.6 分(2)因为 a2，A60，所以 b2c2bc4，S12bcsin A 34 bc，8 分 而 b2c22bcbc42bcbc4，10 分 又 S12bcsin A 34 bc 34 4 3.13 分 所以ABC 的面积 S 的最大值等于 3.14 分题型三|正、余弦定理的实
6、际应用(2016无锡期中)如图 10-1，某自行车手从 O 点出发，沿折线 OABO 匀速骑行，其中点 A 位于点 O 南偏东 45且与点 O 相距 20 2千米该车手于上午 8 点整到达点 A,8 点 20 分骑至点 C，其中点 C 位于点 O 南偏东(45)(其中 sin 126，090)且与点 O 相距 5 13千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)图 10-1(1)求该自行车手的骑行速度；(2)若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E，假定以点 E 为中心的 3.5千米范围内有长时间的持续强降雨试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由解(1)由题意知，OA20
7、2，OC5 13，AOC，sin 126.由于 090，所以 cos 112625 2626.3 分 由余弦定理，得 AC OA2OC22OAOCcos 5 5.5 分 所以该自行车手的行驶速度为5 51315 5(千米/小时).6 分(2)如图，设直线 OE 与 AB 相交于点 M.在AOC 中，由余弦定理，得：cosOACOA2AC2OC22OAAC20225255213220 25 53 1010，从而 sinOAC 1cos2OAC1 910 1010.9 分 在AOM 中，由正弦定理，得：OMOAsinOAMsin45OAM20 2 101022 3 1010 101020.12 分
8、 由于 OE27.520OM，所以点 M 位于点 O 和点 E 之间，且 MEOEOM7.5.过点 E 作 EHAB 于点 H，则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离.14 分 在 RtEHM 中，EHEMsinEMHEMsinEMHEMsin(45OAC)7.5 55 3 523.5.所以该自行车手会进入降雨区.16 分【名师点评】借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考的一个命题热点，解题的关键是将问题转化到平面图形如三角形、四边形等中，然后借助正、余弦定理解题.(2016扬州期中)有一块三角形边角地，如图 10-2，ABC 中，其中 AB8(百米)，AC6(百米)，A60.某
9、市为迎接 2500 年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中AEF)供市民休闲，其中点 E 在边 AB 上，点 F 在边 AC上规划部门要求AEF 的面积占ABC 面积的一半，记AEF 的周长为 l(百米)图 10-2(1)如果要对草坪进行灌溉，需沿AEF 的三边安装水管，求水管总长度 l的最小值；(2)如果沿AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度 l 的最大值，并确定此时 E，F 的位置解(1)设 AEx(百米)，SAEF12SABC，12AEAFsin A1212ABACsin A2 分 AB8，AC6，AF24x.0 x8，024x 6，4x8.3 分 在AEF 中，EF2x2
10、24x22x24x cos 60 x2242x2 24，lx24x x2242x2 24，x4,8，5 分 lx24x x2242x2 242 24 224246 6，当且仅当 x2 6时取“”，lmin6 6.6 分(2)由(1)知：lx24x x2242x2 24，x4,8 令 tx24x，x4,8，t124x2x224x2x2 6x2 6x2.9 分 列表得：x(4,2 6)2 6(2 6，8)t0 t 极小值 4 6 且 x4 时，t10；x8 时，t11，则 t4 6，11 lt t272在4 6，11上单调递增，当 t11 时，lmax18，此时 AE8，AF3，13 分 答：水管
11、总长度 l 的最小值为 6 6百米；当点 E 在 A 处，点 F 在线段 AC 的中点时，长廊总长度 l 的最大值为 18 百米.14 分命题展望从近五年的高考试题看，三角恒等变换及正、余弦定理的交汇成为江苏高考的一个测重点，该类题目侧重于学生的双基，属送分题目.2017 年该点依然是命题点应加强训练.(2016江苏高考)在ABC 中，AC6，cosB45，C4.(1)求 AB 的长；(2)求 cosA6 的值解(1)因为 cos B45，0B，所以 sin B 1cos2B145235.2 分 由正弦定理知 ACsin B ABsin C，所以 ABACsin Csin B 6 22355
12、2.4 分(2)在ABC 中，ABC，所以 A(BC)，于是 cos Acos(BC)cosB4 cos Bcos 4sin Bsin 4.又 cos B45，sin B35，故 cos A45 22 35 22 210.8 分 因为 0A，所以 sin A 1cos2A7 210.10 分 因此，cosA6 cos Acos 6sin Asin 6 210 32 7 210 127 2 620.14 分阅卷心语易错提示 1忽视“角 A，B，C 间的关系”，导致无法求解 cos A；2误用“cos AcosBC”，导致计算失分.防范措施 1在ABC 中，其内角和 ABC，常用该条件实现角的转化
13、.2熟记诱导公式，在换算角的关系时，尽量少跨步骤，如此题中，可这样：cos AcosBCcosBC.1在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a3，b2 6，B2A.(1)求 cos A 的值；(2)求 c 的值【导学号：91632033】解(1)在ABC 中，因为 a3，b2 6，B2A，2 分 故由正弦定理得 3sin A 2 6sin 2A，于是2sin Acos Asin A2 63.5 分 所以 cos A 63.6 分(2)由(1)知 cos A 63，所以 sin A 1cos2A 33.7 分 又因为 B2A，所以 cos Bcos 2A2cos2A113
14、，从而 sin B 1cos2B2 23.10 分 在ABC 中，因为 ABC，所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B5 39.13 分 因此由正弦定理得 casin Csin A 5.14 分2在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别是 a，b，c.(1)若 sinA4 2sin A，求 A 的值；(2)若 cos A12，sin Bsin C2sin A，试判断ABC 的形状，并说明理由解(1)由题意，若 sinA4 2sin A，则 22 sin A 22 cos A 2sin A，2 分 即 22 cos A 22 sin A，4 分 可得 tan
15、A1，由 A(0，)，故 A4.6 分(2)在ABC 中，sin Bsin C2sin A，由正弦定理可得：bc2a，8 分 由 cos A12，得 cos Ab2c2a22bc12，故 b2c2a2bc，又 bc2a，10 分 则(bc)2a23bc3a2，故 a2bcbc22，可得(bc)20，故 bc，13 分 则 bca，故ABC 为正三角形.14 分3如图 10-3 是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架 OA，OB，OC 两两成 120，OC1，ABOBOC，且 OAOB.现设计师在支架 OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为 M，且 M 与 OB 长成正比，比例系数为 k
16、(k 为正常数)，在AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为 N，且 N与AOC 的面积成正比，比例系数为 4 3k，设 OAx，OBy.图 10-3(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；(2)求 NM 的最大值及相应的 x 的值解(1)因为 OAx，OBx，ABy1，1 分 由余弦定理，x2y22xycos 120(y1)2，解得 yx212x，3 分 由 x0，y0 得 1x2，又 xy，得 xx212x，解得 1x1 32，5 分 所以 OA 的取值范围是1，1 32.6 分(2)MkOBky，N4 3kSAOC3kx，则 NMk(3xy)k3xx212x，8 分 设 2xt3 32，1，则 NMk32t2t21t k104t3t k1024t3t (104 3)k.12 分 当且仅当 4t3t，即 t 32 3 32，1 取等号，此时 x2 32 取等号，所以当 x2 32 时，NM 的最大值是(104 3)k.14 分专题限时集训（十一）点击图标进入
