1、一轮大题专练12导数(有解问题2)1已知函数,(1)当时,求证:;(2)若函数有两个零点,求的取值范围解:(1)证明:当时,则,因为,所以,因此,所以在,上单调递增,于是,因此在,上单调递增,所以 (2)由(1)知,当时,当且仅当时取等号,此时函数仅有1个零点,当时,因为,所以,当,时,单调递增,当,时,因为,所以,所以单调递增,又,因此在,上存在唯一的零点,且当时,所以单调递减,当,时,所以单调递增,又,因此在,上存在唯一的零点,且,当时,所以单调递减,当,时,所以单调递增,又 , ,所以在,上存在唯一零点,因此在,上有两个零点,综上,的取值范围是,2已知函数(1)当时,求曲线在点,处的切线
2、方程;(2)若有两个零点,求实数的取值范围解:(1)当时,因为,所以曲线在点,处的切线方程为(2)因为有两个零点,所以方程有两个不同的根,即关于的方程有两个不同的解,当时,方程不成立,所以,令,则与的图象有两个交点,且,令,得或,令,得或,所以在上单调递增,在上单调递减,当时,取得极大值,当时,取得极小值(1),因为,且当时,所以的取值范围是3已知函数(1)若,讨论的单调性;(2)已知,若方程在有且只有两个解,求实数的取值范围解:(1)依题可得,定义域为,所以当时,由,得,由,得,则的单调递减区间为,单调递增区间为当时,由,得,由,得或,则的单调递减区间为,单调递增区间为和当时,恒成立,则的单
3、调递增区间为当时,由,得,由,得或,则的单调递减区间为,单调递增区间为和(2)方程在有且只有两个解,即关于方程在上有两个不相等的实数根令,则令,则,因为在上恒成立,故在上单调递增因为(1),所以当时,有,即,所以单调递减;当,时,有,即,所以单调递增因为,(1),所以的取值范围是4已知实数,设函数,()若,讨论的单调性;()若方程有唯一实根,求实数的取值范围解:()若,则,令,令,解得或,令,解得,函数在,单调递增,在单调递减;()当时,显然只有一个零点,即方程有唯一实根;当时,令,则,即有唯一实数解,当时,则,而,显然无解;当时,若,则,而,显然无解,则,令,则它们的图象有且仅有一个交点,注
4、意到,且在处取得等号,考虑的情况,可得,即直线与函数,分别交于点和,(A)若,则;(B)若,则,时,则存在唯一交点;(C)若,则(a)(a),由零点存在性定理可知,存在唯一交点;综上所述,实数的取值范围为,5已知函数和()若曲线和在处的切线斜率都为,求和;()若方程在区间,上有解,求的取值范围解:()函数的导数为,所以曲线在处的切线的斜率为,的导数为,所以曲线在处的切线的斜率为,由,解得,;()方程在区间,上有解,则在区间,上有解,设,则,当时,递增;当时,递减所以的最大值为(1),所以,所以令,则,由的导数为,可得在递增,递减,则的最小值为(1),即有恒成立,所以,所以,所以在,递减,在,递
5、增,所以在处取得最小值1,因为与相交有解,(e),(e),所以(1),所以,所以的取值范围为6已知函数,其中,令(1)求证:当时,无极值点;(2)若函数,是否存在实数,使得在处取得极小值?并说明理由解:(1)证明:,则,显然,当时,在上为增函数,无极值点;(2)存在,使得在处取得极小值理由如下:,则,显然是的极小值点的必要条件为,解得,此时,显然当时,;当时,故,令,则,故在上为减函数,故当时,即,令,则,当时,故在单调递增,故当时,即,故当时,因此,当时,是的极小值点,即充分性也成立综上,存在,使得在处取得极小值7已知函数,(1)若时,函数有极小值,试确定的取值范围;(2)当时,函数在,上的最大值为,若存在,使得成立,求实数的取值范围解:(1)函数的定义域为,当时,令,解得,令,解得,在上单调递增,在上单调递减,此时无极小值;当时,令,解得或,当时,令,解得或,令,解得,在上单调递增,在上单调递减,此时在处取得极小值,符合题意;当时,令,解得,令,解得,在上单调递增,在上单调递减,此时无极小值;综上,实数的取值范围为;(2)由(1)知,当时,函数在上是增函数,在上是减函数,存在,使得成立,即存在,使成立,只需函数在,上的最大值大于等于,解得,故实数的取值范围为