1、第7讲 正弦、余弦定理与解三角形 第7讲 正弦、余弦定理 与解三角形 主干知识整合第7讲 主干知识整合 1正、余弦定理主要应用求值问题；证明问题；比较大小问题；判断三角形形状问题；求范围问题.2正弦定理和余弦定理在解斜三角形时，应注意以下几个方面(1)要注意正、余弦定理的变式应用及公式逆用如正弦定理中，a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可以把边转换成角，比如题设中出现 b2ac 这样的条件，我们可以把它化为 sin2BsinAsinC.(2)防止漏解，特别是在用正弦定理得到 sin Aa(a(0,1)时，A 可以有两个解，要结合题设条件对它进行讨论，并取舍(3)要注意三角形
2、中的隐含条件，如 ABC，两边之和大于第三边等3.解三角形应用问题时，通常会遇到的两种情形(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，利用正弦定理或余弦定理解之；(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解 要点热点探究第7讲 要点热点探究 探究点一 正弦、余弦定理的应用例 12011北京卷 在ABC 中，若 b5，B4，tanA2，则 sinA_；a_.【分析】先根据 tanA2，利用同角三角函数的关系式求出 sinA 的值，再画出对应的三角形，通过对三角形中边角关系的分析确定应用正弦定理求解第7讲 要点热点探究 2 55
3、 2 10【解析】因为 tanA2，所以 sinA2 55；再由正弦定理有：asinA bsinB，即 a2 55 522，可得 a2 10.【点评】本题考查同角三角函数的关系和正弦定理的应用在三角形的求值问题中，要注意角的取值范围在运用正弦定理的时候，要注意所解题的基本题型，本题中就是已知两角和其一角所对的边，求另一角 第7讲 要点热点探究 (1)在ABC 中，已知角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且a3，c8，B60，则 sinA 的值是()A.316 B.314 C.3 316D.3 314(2)在ABC 中，a、b、c 是角 A、B、C 的对边，若 a、b、c 成等比数列，A
4、60，则bsinBc()A.12B1C.22D.32第7讲 要点热点探究 (1)D (2)D 【解 析】(1)根 据 余 弦 定 理 得b 3282238cos607，根据正弦定理 3sinA7sin60，解得 sinA3 314.(2)由 a、b、c 成等比数列可得 b2ac，根据正弦定理可得 sin2BsinAsinC，故bsinBcsin2BsinC sinA 32.第7讲 要点热点探究 例 22011山东卷 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cosA2cosCcosB2cab.(1)求sinCsinA的值；(2)若 cosB14，b2，求ABC 的面积 S.
5、【分析】第一问只要根据正弦定理即可把已知的cosA2cosCcosB2cab化为关于三角形三个内角的三角函数，再进行三角变换即可解决问题根据第一问的结果得到一个关于三角形边的方程，再根据余弦定理可得关于三角形三边的方程，其中一边已知，这样就得到两个方程，解方程组即可第7讲 要点热点探究【解答】(1)由正弦定理，设asinAbsinBcsinCk，则2cab2ksinCksinAksinB2sinCsinAsinB，所以cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB.即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得 sin(AB)2sin(BC)又 ABC，所以原等
6、式可化为 sinC2sinA，因此sinCsinA2.(2)由sinCsinA2 得 c2a.由余弦定理 b2a2c22accosB 及 cosB14，b2，得4a24a24a214，解得a1，从而c2.又因为cosB14，且0B.所以 sinB 154.因此 S12acsinB1212 154 154.第7讲 要点热点探究【点评】本题的难点是变换cosA2cosCcosB2cab时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角
7、形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题第7讲 要点热点探究 已知ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若向量 m(ab，c)，n(sinAsinB，sinC)，且 mn3asinB.(1)求 C 的大小；(2)设 m2c22ab4sinC，求ABC 面积的最大值【解答】(1)由 mn3asinB(ab)(sinAsinB)csinC3asinB.由正弦定理，得(ab)(ab)c23ab，即 a2b2c2ab.cosCa2b2c22a
8、b12.0C，C3.(2)由 m2c22ab4sinC，得(ab)2c2c22ab2 3.a2b22 32abab 3(当且仅当 ab 时取“”号)S ABC12absinC12 3 32 34.当ABC 为正三角形时，ABC 面积的最大值为34.第7讲 要点热点探究 探究点二 解三角形的实际应用问题例 3 渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东 40方向距渔政船甲 70 km 的 C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20方向的 B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务
9、，渔政船甲航行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙)，此时 B、D 两处相距 42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救图 71第7讲 要点热点探究【分析】渔政船乙航行距离即线段 BC 的长度根据题意，在BCD 中，已知 BD，DC，因此只要求出BDC 的余弦值，即可根据余弦定理求出 BC.根据三角形的外角定理，BDCABD60，只要在ABD 中根据正弦定理求出ABD 的正弦值，然后根据同角三角函数关系求出其余弦值，再根据和角的余弦公式即可
10、求出BDC 的余弦值 第7讲 要点热点探究【解答】设ABD，在ABD 中，AD30，BD42，BAD60，由正弦定理得：ADsinBDsinBAD，sinADBDsinBAD3042sin605 314，又ADBD，060，cos 1sin21114.cosBDCcos(60)17，在BDC 中，由余弦定理得：BC2DC2BD22DCBDcosBDC4024228042cos(60)3844，BC62.答：渔政船乙要航行 62 km 才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救 第7讲 要点热点探究【点评】解三角形的实际应用问题其基本的解题思想是把要求解的量(角和长度)纳入到可解三角形中，然后使用
11、正弦定理、余弦定理解这个三角形在分析实际应用问题时，要善于根据题目给出的已知条件寻找这样的可解三角形如本题中ABD 是第一个基本的可解三角形，我们已知这个三角形的两条边长 AD，BD，和其中一个边的对角BAD60，这个三角形中的所有元素都能求出，这样就为解另外的三角形提供了新的已知条件本题也可以在ABD 中求出 AB，然后在ABC 中使用余弦定理求 BC.第7讲 要点热点探究 如图 72，在海岛 A 上有一座海拔 1 km 的山峰，山顶设有一个观察站 P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午 11：00 时，测得此船在 P 的北偏东 15、俯角为 30的 B 处，到 11：10时，又测得
12、该船在 P 的北偏西 45、俯角为 60的 C 处(1)求船的航行速度；(2)求船从 B 到 C 航行过程中与观察站 P 的最短距离图 72第7讲 要点热点探究【解答】(1)设船速为 x km/h，则 BCx6 km.在 RtPAB 中，PBA 与俯角相等为 30，AB1tan30 3.同理，在 RtPCA 中，AC1tan60 33.在ACB 中，CAB154560，由余弦定理得 BC 323322 3 33 cos 60 213，x6 2132 21，船的航行速度为 2 21 km/h.第7讲 要点热点探究(2)(方法一)作 ADBC 于点 D，连接 PD，当船行驶到点 D 时，AD 最小
13、，从而 PD 最小此时，ADABACsin60BC3 33 32213 314 7.PD1314 7 2 25914.船在航行过程中与观察站 P 的最短距离为25914km.第7讲 要点热点探究(方法二)由(1)知在ACB 中，由正弦定理 ACsin B BCsin60，sinB33 32213 2114.作 ADBC 于点 D，连接 PD，当船行驶到点 D 时，AD 最小，从而 PD 最小此时，ADABsinB 3 2114 314 7.PD1314 7 2 25914.船在航行过程中与观察站 P 的最短距离为 25914km.规律技巧提炼第7讲 规律技巧提炼 1判断三角形形状的方法(1)给
14、定三角形三边或三边的比，判断三角形的形状，由余弦定理可知：在ABC 中，三边分别为 a，b，c(abc)，则若 a2b2c2，则ABC 为锐角三角形；若 a2b2c2，则ABC 为直角三角形；若 a2b2c2，则ABC 为钝角三角形2利用正、余弦定理求解实际问题的基本步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图形；(2)建模：根据已知条件和求解目标，将已知量和求解量尽可能地集中在一个或联系紧密的几个三角形中；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解 第7讲 教师备用例题 教师备用例题例 1
15、可作要点热点探究中例 1 的补充题本题进一步巩固练习正弦、余弦定理在解三角形边、角时的应用；例 2 可作要点热点探究中例 2 的补充题本题是一道综合题，将向量、均值不等式知识结合起来，求角的大小，判断三角形的形状，通过练习，可以培养学生学科知识综合应用的能力第7讲 教师备用例题 例 1 已知 a、b、c 分别是ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边，若cosBcosCb2ac，则 B_.【答案】23【解析】将 cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab代入cosBcosCb2ac，并化简，得ba2c2b2ca2b2c2b2ac，即 a(a2c2b2ac)0，a0，a2c2b2ac
16、0.由余弦定理，得 cosBa2c2b22ac12，又 0B，B23.第7讲 教师备用例题 例 2 已知ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，向量 m(4，1)，ncos2A2，cos2A，且 mn72.(1)求角 A 的大小；(2)若 a 3，试判断 bc 取得最大值时ABC 的形状【解答】(1)由 m(4，1)，ncos2A2，cos2A，得 mn4cos2A2cos2A41cosA2(2cos2A1)2cos2A2cosA3.又mn72，2cos2A2cosA372，解得 cosA12.0A，A3.(2)在ABC 中，a2b2c22bccosA，且 a 3，(3)2b2c22bc12b2c2bc.b2c22bc，32bcbc，即 bc3，当且仅当 bc 3时，bc 取得最大值又由(1)知 A3，BC3，故 bc 取得最大值时，ABC 为等边三角形
