1、第2讲二项式定理考纲展示命题探究1二项式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)叫做二项式定理公式中右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数C(k0,1，n)叫做二项式系数，式中的Cankbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示2二项式系数的性质(1)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当k时，二项式系数逐渐减小当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大(3)各二项式系数的和：(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即CCC2n.(4)奇数项的二项式系数
2、之和等于偶数项的二项式系数之和，即CCCC2n1.注意点二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.1思维辨析(1)在二项展开式中第k项为Cankbk.()(2)通项Cankbk中的a和b不能互换()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(5)(ab)n某项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号等构成，与该项的二项式系数不同()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(12x)5的展
3、开式中，x2的系数等于()A80 B40C20 D10答案B解析Tk1CankbkC15k(2x)kC2kxk，令k2，则可得含x2项的系数为C2240.3若(1x)(12x)7a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a7的值是()A2 B3C125 D131答案C解析令x1，则a0a1a2a82.又(12x)7展开式中第r1项Tr1C(1)r2rxr，a0C(1)0201，a8C(1)727128，a1a2a7125.考法综述利用二项式定理求展开式的通项、特定项二项式或项的系数或项的系数的最值，也可在二项式定理中进行赋值，利用赋值法进行求值命题法1求二项展开式中项或项的系数典例1(1)8展开式
4、中x4的系数是()A16 B70C560 D1120(2)已知(x3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项解析(1)根据所给的二项式写出展开式的通项Tr1C(x2)8rr2rCx163r.令163r4，得r4，故x4的系数是C241120.(2)令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n.2n32，n5.n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.设展开式中第k1项的系数最大，则由Tk1C(x)5k(3x2
5、)k3kCx，得k，k4， 即展开式中系数最大的项为T5C(x)(3x2)4405x.答案(1)D(2)见解析【解题法】求二项展开式中特定项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk1Cankbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0,1,2，n)(1)第m项：此时k1m，直接代入通项(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解命题法2二项式系数的应用及赋值法的应用典例2设(21)n的展开式的各项系数之和为M，二项
6、式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为_解析令x1，则各项系数之和为M(21)n1.二项式系数之和NCCCC2n，又M,8，N三数成等比数列，则82MN，即2n64，解得n6，故T4C(2)63(1)3160x.答案160x【解题法】求二项式中项的系数的和与差的方法技巧(1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可；同理求系数之差时，只需根据题目要求令x1，y1或x1，y1即可；如何赋值，要观察所求和与差式的特点，发现差异，
7、确保正确(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0a2a4，奇次项系数之和为a1a3a5，令x0，可得a0f(0)1. (x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20C30 D60答案C解析由二项展开式通项易知Tr1C(x2x)5ryr，令r2，则T3C(x2x)3y2，对于二项式(x2x)3，由Tt1C(x2)3txtCx6t，令t1，所以x5y2的系数为CC30，故选C.2已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a()A. BC6 D6答案D解析由二项展开式的通项可得3二项式(x1)n(nN)的展开式中x2的系数
8、为15，则n()A7 B6C5 D4答案B解析由(x1)n(1x)n1CxCx2Cxn，知C15，15，解得n6或5(舍去)故选B.4.已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B211C210 D29答案D解析因为(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，即CC，所以CC，解得n10，所以二项式(1x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为21029.5在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A30 B20C15 D10答案C解析在(1x)6的展开式中，含x2的项为T3Cx215x2，故在x(1x)6的展开式中，含x3的项的系
9、数为15.6设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m()A5 B6C7 D8答案B解析由题意知aC，bC，13C7C，即，解得m6.7(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析解法一：直接将(ax)(1x)4展开得x5(a4)x4(64a)x3(46a)x2(14a)xa，由题意得1(64a)(14a)32，解得a3.解法二：(1x)4展开式的通项为Tr1Cxr，由题意可知，a(CC)CCC32，解得a3.8在(2x1)5的展开式中，含x2的项的系数是_(用数字填写答案)答案4
10、0解析由二项展开式的通项Tr1C(2x)5r(1)r(r0,1，5)知，当r3时，T4C(2x)53(1)340x2，所以含x2的项的系数是40.9(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)答案20解析(xy)8的通项公式为Tr1Cx8ryr(r0,1，8，rZ)当r7时，T8Cxy78xy7，当r6时，T7Cx2y628x2y6，所以(xy)(xy)8的展开式中含x2y7的项为x8xy7y28x2y620x2y7，故系数为20.10若6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_答案2解析6的展开式的通项为Tr1C(ax2)6rrCa6rbrx123r，令123
11、r3，得r3.由Ca6rbrCa3b320，得ab1.所以a2b22ab212.11.8的展开式中x2y2的系数为_(用数字作答)答案70解析设8的第r1项中含有x2y2，则Tr1C8rrC(1)rx8ryr，因此8r2，r2，即r4.故x2y2的系数为C(1)470.创新考向以二项式定理为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题常以“问题”(二项式)为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题以二项式为依托，考查学生的理解能力，解决创新问题的能力常见的有新概念、新法则、新运算.创新例题在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,
12、1)f(1,2)f(0,3)()A45 B60C120 D210答案C解析由题意可得：f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCC2060364120.故选C.创新练习1.设x表示不超过x的最大整数.对于给定的nN*，定义C，x1，)，则当x时，函数f(x)C的值域为()A. B.C. D.答案B解析由定义知：当x时，x1，当x2,3)时x2.f(x)C又x时，x2,3)时的值域为，所以f(x)的值域为.2设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则a_.答案3解析根据题意知a01，a13，a24，结
13、合二项式定理得即解得a3.创新指导1.准确转化：解决二项式定理创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌与已有概念或定义相混淆2方法选取：对于二项式定理创新问题，通过转化与化归思想，通常将问题转化为求二项式的通项或利用赋值法求值，有时结合二项式定理及其性质求解，同时注意培养学生领悟新信息、运用新信息的能力若在(2x1)n的展开式中，第3项的二项式系数与第8项的二项式系数相等，则其展开式中所有项的系数之和等于()A29 B211C39 D311错解错因分析错误一是不理解二项式系数，导致n求错；错误二是把所有项的系数与二项式系数混淆正解在(2x1)n的展
14、开式中，第3项的二项式系数是C，第8项的二项式系数是C，依题意，得CC，于是n279.所以在(2x1)9的展开式中，所有项的系数之和等于(211)939，故选C.答案C心得体会时间：60分钟基础组1. 2016武邑中学模拟二项式n的展开式中第4项为常数项，则常数项为()A10 B10C20 D20答案B解析由题意可知常数项为T4C()n33(1)3Cx，令0，可得n5.故所求常数项为T4(1)3C10，选B.22016枣强中学一轮检测在二项式11的展开式中，系数最大的项为()A第五项 B第六项C第七项 D第六项或第七项答案C解析依题意可知Tr1C(1)rx223r，0r11，rZ，二项系数最大
15、的是C与C.所以系数最大的是T7C，即第七项32016衡水中学周测已知f(x)(ax2)6，f(x)是f(x)的导数，若f(x)的展开式中x的系数大于f(x)的展开式中x的系数，则a的取值范围是()Aa或a0 B0a Da或a192aa或a0)展开式中x2项的系数为15，则实数a_.答案1解析由题意可知Tr1Cx62r(1)rar,0r6，rZ，则x2项的系数是Ca215，又a0，则a1.72016衡水二中一轮检测二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为_答案5解析二项展开式的通项是Tr1Cx3n3rx2rCx3n5r，令3n5r0，得n(r0,1,2，n)，故当r3时，n有最小
16、值5.82016枣强中学猜题已知n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为_答案7x5解析由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8或n1(不符合题意，舍去)，则8的展开式的通项为Tr1Cx8rr，令r14，得r3，则第四项为T4Cx537x5.92016衡水中学期中设(x1)21a0a1xa2x2a21x21，则a10a11_.答案0解析(x1)21的展开式的通项为Tk1Cx21k(1)k.由题意知a10，a11分别是第x10和x11项的系数，所以a10C，a11C，所以a10a11CC0.102016武邑中学期中n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为_答案解析由已知条
17、件第五项和第六项的二项式系数最大，得n9，则9的展开式中第四项为T4C()63.112016衡水中学期末已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71094.(3)()2，得a0a2a4a61093.(4)(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6都大于零，而a1、a3、a5、a7都小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2
18、a4a6)(a1a3a5a7)，由(2)、(3)即可得其值为2187.12. 2016冀州中学猜题已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解(1)令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍)或2n32，n5.由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开式中的通
19、项公式为Tr1C3rx(52r)假设Tr1项系数最大，则有r.rN，r4.展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.能力组13.2016武邑中学仿真设a，b，m为整数(m0)，若a和b被m除的余数相同，则称a和b对模m同余，记ab(modm)若aCC2C22C220，则ab(mod10)，则b的值可以为()A2011 B2012C2013 D2014答案A解析aCC2C22C220(12)20320(32)10(101)101010C109C108C10C1010C109C108C10110(109C108C107C)1，因此a除10的余数为1，即a1(mod10)，因此b的值可以为
20、2011，故选A.142016衡水中学模拟若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析由x51(1x)5，所以a3C(1)210.152016冀州中学期中在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和即为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3
21、a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29.偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项的系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项的系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.162016衡水中学仿真当nN*时，求证：2n3(nN*)证明n1CCC1C2，又C，n1CCC22233.
