1、考纲要求1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。2能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。考情分析1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题。2命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的。()(2)存在实数，使等式 sin()sinsin 成立。()(3
2、)公式 tan()tantan1tantan可以变形为 tantantan()(1tantan)，且对任意角，都成立。()(4)存在实数，使 tan22tan。()解析：(1)正确。对于任意的实数，两角和与差的正弦、余弦公式都成立。(2)正确。如取 0，因为 sin00，所以 sin(0)sinsinsin0。(3)错误。变形可以，但不是对任意角，都成立。，k2，kZ。(4)正确。当 k(kZ)时，tan22tan。2已知 sin35，且 2，那么sin2cos2的值等于()A34 B32C.34D.32解析：sin35，且 2，cos45，sin2cos22sincoscos22sincos
3、 2354532。答案：B3已知 tan()3，tan()5，则 tan2 等于()A.18B18C.47D47解析：tan2tan()()tantan1tantan 35135 81447。答案：D4设 0，2，若 sin35，则 2cos4 等于()A.75B.15C75D15解析：0，2，且 sin35，cos45。2cos4 2coscos4sinsin4 2 22(cossin)cossin15。答案：B5函数 ycosx(sinxcosx)的最小正周期为()A.4B.2C D2解析：ycosx(sinxcosx)cosxsinxcos2x12sin2x1cos2x212 22 si
4、n2x4。最小正周期 T22，故选 C。答案：C知识重温一、必记 4个知识点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()_；cos()_；tan()_。2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2_；cos2_；tan2_。sincoscossincoscossinsintantan1tantan2sincoscos2sin22cos2112sin22tan1tan23公式的常用变形(1)tantantan()(1tantan)；(2)cos21cos22，sin21cos22；(3)1sin2(sincos)2，1sin2(sincos)2，sincos 2sin4。4角的变换技巧2()()；()
5、；2 2；2 2 2。二、必明 2个易误点1在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错。2在(0，)范围内，sin()22 所对应的角 不是唯一的。考点一 化简与求值问题【典例 1】(1)sin47sin17cos30cos17()A 32 B12C.12 D.32(2)cos2sin22tan4 cos24_。C1解析：(1)sin47sin17cos30cos17sin3017sin17cos30cos17sin30cos17cos30sin17sin17cos30cos17sin30cos17cos17sin3012。(2)原式cos2sin22sin4cos4cos24cos2si
6、n22sin4 cos4cos2sin22cos2cos21。悟技法(1)技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等。(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化。通一类1化简：2sin50sin10(1 3tan10)2sin280_。解析：原式2sin50sin10cos10 3sin10cos10 2sin802sin502sin1012cos10 32 sin10cos10 2cos102 2sin50cos1
7、0sin10cos(6010)2 2sin(5010)2 2 32 6。答案：62化简：1sincossin2cos222cos(0)_。解析：原式2sin2cos22cos22 sin2cos24cos22cos2sin22cos22|cos2|cos2cos|cos2|。因为 0，所以 022，所以 cos20，所以原式cos。答案：cos考点二 给值求值问题【典例 2】已知 cos2 19，sin2 23，且2，02，求 cos2 的值。解析：2 2 2，2，02，42，422。sin2 1cos22 4 59，cos2 1sin22 53。cos2 cos2 cos2 sin2 sin
8、2 7 527。悟技法角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；如()()，2()()等；函数变换：弦切互化，化异名为同名。综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化。通一类3已知 sin4 sin4 16，2，求 sin4。解析：方法一：sin4 sin4 sin4 cos4 16，sin22 13，即 cos213。2，则 2(，2)，sin2 1cos222 23，于是 sin42sin2cos24 29。方法二：由条件得 22(cossin)22(cossin)16，即12(cos2sin2)16。cos21
9、3。由 2(，2)得 sin22 23，sin44 29。【典例 3】若 sinA 55，sinB 1010，且 A，B 均为钝角，求 AB 的值。解析：A、B 均为钝角且 sinA 55，sinB 1010，cosA 1sin2A 252 55，cosB 1sin2B 3103 1010，cos(AB)cosAcosBsinAsinB2 553 1010 55 1010 22 又2A，2B，AB2。由知，AB74。悟技法(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的
10、范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好。(2)解这类问题的一般步骤为：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角。通一类4已知，(0，)，且 tan()12，tan17，求 2 的值。解析：tantan()tantan1tantan121711217130，02，又tan2 2tan1tan22131132340，022，tan(2)tan2tan1tan2tan3417134171。tan170，2，20，234。高考模拟1.(2016聊城期中)计算 sin44cos14cos44cos76的结果等于()A.12 B.33C.22D.32解析：sin4
11、4cos14cos44cos76sin44cos14cos44sin14sin3012。答案：A2(2016莱州检测)已知 tan14，tan()13，则 tan 等于()A.711B117C 113 D.113解析：由 tan14，tan()13，得 tantan()tantan1tantan141311413 113。答案：C3(2016长沙模拟)已知 cos6 33，则sin56 2 的值为()A.13B13C.23 D23解析：sin56 2 sin232 cos322cos26 12332113。答案：B4(2016金乡模拟)若 cos45，是第三象限的角，则1tan21tan2()A12B.12C2 D2解析：1tan21tan2cos2sin2cos2sin21sincos，cos45，是第三象限的角，sin35，故原式12。答案：A5(2016嘉定模拟)已知、0，2。若 cos()513，sin()45，则 cos2_。解析：由、0，2，得(0，)，2，0。故sin()1213，cos()35，所以 cos2cos()cos()cos()sin()sin()51335121345 6365。答案：6365
