1、高考大题专项练四高考中的立体几何1.如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,APC=90.(1)证明:平面PAB平面PAC;(2)设DO=2,圆锥的侧面积为3,求三棱锥P-ABC的体积.2.(2021全国)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BFA1B1.(1)求三棱锥F-EBC的体积;(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BFDE.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的
2、中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.4.如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,点E在A1D上.(1)证明:AA1平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B平面EAC,并求出此时三棱锥D-AEC的体积.5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.(1)求证:BD平面PAC;(2)若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE;(3)棱PB上是否存在点F,使得CF平面PAE?说明理由.6.如图,已知正
3、三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.7.(2021宁夏银川模拟)如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,把ADE沿AE翻折,使得平面ADE平面ABCE.(1)求证:ADBE;(2)在CD上确定一点F,使AD平面BEF;(3)求四棱锥F-ABCE的体积.8.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C
4、1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN=3,求四棱锥B-EB1C1F的体积.答案：1.(1)证明由题设可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB,PACPBC.又APC=90,故APB=90,BPC=90.从而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而AB=3.由(1)可得PA2+P
5、B2=AB2,故PA=PB=PC=62.所以三棱锥P-ABC的体积为1312PAPBPC=1312623=68.2.(1)解在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1A1B1,BFA1B1,BB1BF=B,BB1,BF平面BCC1B1,A1B1平面BCC1B1.ABA1B1,AB平面BCC1B1,ABBC.AB=BC=2,AC=22+22=22,CE=BE=2.CF=12CC1=12AB=1,V三棱锥F-EBC=13SEBCCF=1312221=13.(2)证明如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.E,M分别为AC,BC中点,EMAB.又ABA1B1,A1B1EM,则点A1,B1,M
6、,E四点共面,故DE平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平面A1B1ME,BFDE.3.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,因为ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,四边形ABCD为正方形,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以
7、EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.4.(1)证明因为底面ABCD是菱形,ABC=60,所以AB=AD=AC=2.在AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1AB.同理,AA1AD.又因为ABAD于点A,所以AA1平面ABCD.(2)解当A1EED=1时,A1B平面EAC.证明如下:连接BD交AC于O,当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OEA1B,所以A1B平
8、面EAC.设AD的中点为F,连接EF.则EFAA1,所以EF平面ACD,且EF=1,可求得SACD=3.所以VE-ACD=1313=33,即VD-AEC=VE-ACD=33.5.(1)证明因为PA平面ABCD,所以PABD.又因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.所以BD平面PAC.(2)证明因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为底面ABCD为菱形,ABC=60,且E为CD的中点,所以AECD.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.(3)解棱PB上存在点F,使得CF平面PAE.取PB的中点F,取PA的中点G,连接CF,FG,EG.则FGAB,且FG=1
9、2AB.因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,所以CEAB,且CE=12AB.所以FGCE,且FG=CE.所以四边形CEGF为平行四边形.所以CFEG.因为CF平面PAE,EG平面PAE,所以CF平面PAE.6.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平
10、面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=1312222=43.7.(1)证明平面ADE平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,又由已知可得AE=BE=2,AB=2,BEAE,则BE平面DAE.AD平面DAE,ADBE.(2)解连接AC交BE于
11、点G,则CGGA=CEAB=12,在线段CD上取CD的三等分点F(靠近C),连接FG,则CFCD=CGCA=13,可得ADFG,而AD平面BEF,FG平面BEF,则AD平面BEF.(3)解取AE中点O,连接DO,则DOAE,又平面ADE平面ABCE,且平面ADE平面ABCE=AE,DO平面ABCE,在RtADE中,可得DO=22.F为CD的三等分点(靠近C),F到平面ABCE的距离为1322=26.可得四棱锥F-ABCE的体积为1312(1+2)126=212.8.(1)证明因为M,N分别为BC,B1C1的中点,所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形,
12、所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解AO平面EB1C1F,AO平面A1AMN,平面A1AMN平面EB1C1F=PN,故AOPN.又APON,故四边形APNO是平行四边形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23AM=23,EF=13BC=2.因为BC平面EB1C1F,所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.作MTPN,垂足为T,则由(1)知,MT平面EB1C1F,故MT=PMsinMPN=3.底面EB1C1F的面积为12(B1C1+EF)PN=12(6+2)6=24.所以四棱锥B-EB1C1F的体积为13243=24.
