1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形1.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.2.(2021北京高考)已知在ABC中,c=2bcos B,C=23.(1)求B的大小;(2)在三个条件中选择一个作为已知,使ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.c=2b;周长为4+23;面积为SABC=334.3.在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.4.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B
2、=150.(1)若a=3c,b=27,求ABC的面积;(2)若sin A+3sin C=22,求C.5.(2021广西崇左二模)已知ABC中,AB=62BC=3,且AC2+2AB=5.(1)求ABC的值;(2)若P是ABC内一点,且APB=56,CPB=34,求tanPBA.6.已知函数f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间-12,2上的值域.7.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos22+A+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:ABC是直角三角形.8.(20
3、21新高考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsinABC=asin C.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cosABC.答案：1.解(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.2.解(1)由题意及正弦定理,得sinC=2
4、sinBcosB=sin2B.C=23,0B3,02B0),AB=23x,(4+23)x=4+23,解得x=1.BC=AC=2,AB=23.设边BC的中点为D,则CD=1.在ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=4+1-221-12=7,AD=7.若选,则设BC=AC=2x(x0),AB=23x.由SABC=12BCACsinC=12(2x)(2x)sin23=3x2=334,解得x=32.BC=AC=3,AB=3.设边BC的中点为D,则CD=32.在ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=3+34-2332-12=214,AD=212
5、.3.解(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,又DC=22,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.又AD=1,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.解(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos150,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=
6、23.ABC的面积为12232sin150=3.(2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sinA+3sinC=sin(30-C)+3sinC=sin(30+C).故sin(30+C)=22.而0C30,所以30+C=45,故C=15.5.解(1)由AB=62BC=3,知AB=3,BC=2,由AC2+2AB=5,知AC2=5-2AB=5-23.在ABC中,由余弦定理得cosABC=BC2+AB2-AC22ABBC=2+3-5+23232=22,0ABC,ABC=4.(2)PBA+PBC=4,PCB+PBC=-BPC=4,PBA=PCB.设PBA=,则在PBC中,由正弦定理得PBsin
7、=BCsin34,PB=2sin.在APB中,由正弦定理得PBsin6-=ABsin56,PB=23sin6-,sin=3sin6-=3sin6cos-cos6sin,tan=35,故tanPBA=35.6.解(1)f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x=sin2x-6,周期T=22=.由2x-6=k+2(kZ),得x=k2+3(kZ).故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=k2+3(kZ).(2)x-1
8、2,2,2x-6-3,56.当2x-6=2,即x=3时,f(x)取最大值1;当2x-6=-3,即x=-12时,f(x)取最小值-32.函数f(x)在区间-12,2上的值域为-32,1.7.(1)解由已知得sin2A+cosA=54,即cos2A-cosA+14=0.所以cosA-122=0,得cosA=12.由于0A,故A=3.(2)证明由正弦定理及已知条件可得sinB-sinC=33sinA.由(1)知B+C=23,所以sinB-sin23-B=33sin3,即12sinB-32cosB=12,sinB-3=12.由于0B1(舍去);当c=23a时,cosABC=712.综上所述,cosABC=712.
