1、第二章坐标系与参数方程考纲点击考情关注1.了解坐标系的作用了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2了解极坐标的基本概念会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.1.主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，多在选择填空中考查2在解答题中涉及直线、圆的参数方程综合考查.1.极坐标系 在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射 线 Ox，一 个 单 位 长 度 及 计 算 角 度 的合称为一个极坐标系O点称为极点，Ox称为极轴平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM
2、的角度来刻画(如右 图 所 示)这 两 个 数 组 成 的称为点M的极坐标称为极径，称为极角有序数对(，)2极坐标与直角坐标的转化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由右图可知下面的关系式成立：这就是极坐标与直角坐标的互化公式 3柱坐标系与球坐标系 设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(，)，则三个有序数、z构成的称为空间中点M的柱坐标在柱坐标中，限定0,00)，则它表示的曲线是()A圆心在点(a,0)直径为a的圆 B圆心在点(0，a)直径为a的圆 C圆心在点(a,0)直径为2a的圆 D圆心在点(0
3、，a)直径为2a的圆4以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为 4(R)，它与曲线x12cos，y22sin(为参数)相交于两点 A 和 B，则|AB|_.5在极坐标系中，由三条直线 0，3，cossin1 围成图形的面积是_ 基础自测答案 1答案：B 2答案：B 3答案：D4答案：14解析：极坐标方程 4(R)对应的平面直角坐标系中方程为 yx，x12cos，y22sin(为参数)(x1)2(y2)24，圆心(1,2)，r2.圆心到直线 yx 的距离 d|12|2 22，|AB|2 r2d22412 14.5答案：3 34解析：三
4、条直线在直角坐标系下的方程依次为y0，y 3x，xy1.如图可知：S POQ 12|OQ|yP|12 1331 3 34.题型一 直角坐标系中的伸缩变换 例 1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x13x，y12y后的图形是什么形状？(1)y22x；(2)x2y21.听 课 记 录 由 伸 缩 变 换x13x，y12y，可 知x3x，y2y.(1)将x3x，y2y代入y22x，可得4y26x，即y232x.即伸缩变换之后的图形还是抛物线(2)将x3x，y2y代入 x2y21，得(3x)2(2y)21，即x219y2141，即伸缩变换之后的图形为焦点在 y 轴上的椭圆 求满足
5、图象变换的伸缩变换，实际上是利用变换公式解题过程中要分清新旧坐标，代入对应的直线方程，然后比较系数即可 互动训练1 在同一平面直角坐标系中，将直线x2y2变成直线2xy4，求满足图象变换的伸缩变换解：由题意得xx，y4y，则直线 x2y2 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2xy4.题型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 2 O1 和O2 的极坐标方程分别为 4cos，4sin.(1)把O1 和O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2 交点的直线的直角坐标方程 听课记录 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长
6、度单位(1)xcos，ysin，由4cos，得24cos.所以x2y24x，即x2y24x0为O1的直角坐标方程同理x2y24y0为O2的直角坐标方程(2)由x2y24x0，x2y24y0，解得x10，y10，x22，y22，即O1、O2 交于点(0,0)和(2，2)，过交点的直线的直角坐标方程为 yx.极坐标与直角坐标的互化 1互化的前提条件：(1)极点与原点重合；(2)极轴与x轴正方向重合；(3)取相同的单位长度 2极坐标和直角坐标互化关系式xcosysin，或2x2y2，tanyxx0是解决该类问题的关键互动训练 2(1)54 的直角坐标方程为_(2)极坐标方程 cos2sin 表示的曲
7、线是_答案：(1)yx(x0)(2)圆心为(12，1)，半径为 52 的圆解析：(1)tan54 yx，yx，0，xcos54 0，所求直角坐标方程为 yx(x0)(2)2cos2sin，x2y2x2y 它表示圆心为(12，1)，半径为 52 的圆.题型三 求曲线的极坐标方程 例3 如图，点A在直线x4上移动，OPA为等腰直角三角形，OPA的顶角为OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状 思路分析 用代入法求极坐标方程，转化成普通方程，判断轨迹形状听课记录 取 O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线 x4 的极坐标方程为 cos4，设A(0，0)，
8、P(，)，点 A 在直线 cos4 上，0cos04，OPA 为等腰直角三角形，且OPA2，而|OP|，|OA|0，以及POA4，0 2，且 04，把代入，得点 P 的轨迹的极坐标方程为 2cos(4)4，由 2cos(4)4 得(cossin)4，点 P 的轨迹的普通方程为 xy4，是过点(4,0)且倾斜角为34 的直线 求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的方法和步骤类似，就是把曲线看做适合某种条件的点的集合或轨迹将已知条件用曲线上的点的极坐标(，)的关系式f(，)0表示出来，就得到曲线的极坐标方程具体如下：建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上的任意一点；由曲线上的点所适合的条
9、件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程 互动训练 3 求圆心在 A(2，32)处并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程解：如下图所示，设 M(，)为圆上除 O，B 外的任意一点，连 OM，MB，则有 OB4，OM，MOB32，BMO90，从而BOM 为直角三角形，所以有|OM|OB|cosMOB，即 4cos(32)4sin.化为直角坐标方程：将 4sin 两边同乘以 得 24sin，即 x2y24y，x2(y2)24.例4(2010江苏卷)在极坐标系中，已知圆2cos与直线3cos4sina0相切，求实数a的值解 将极坐
10、标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为 x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为 3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为 1，即有|3140a|32421，解得 a8 或 a2.故 a 的值为8或 2.1.(2010北京卷)极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆 B两条直线 C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线 答案：C 解析：(1)()0(0)，1或(0)1表示圆心在原点，半径为1的圆，(0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C.答案：3解析：曲线1C 的方程是22(3)(4)1xy，曲线2C 的方程 是221xy，两 圆 外 离，所 以|AB 的 最 小 值 为22341 13 2（2011 年陕西高考卷，理 15）直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线1C：3 cos4sinxy （为参数）和曲线2C：1 上，则|AB 的最小值为
