1、1已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于_解析：|a23|21，解得 a 21，a 21(舍去)答案：21(舍去)2若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)可能是_解析：由y2x，xy3，得x1，y2.m2n50.点(m，n)可能是(1，3)答案：m2n503两直线 xy20与 2x2y30 的距离为_解析：d|232|27 24.答案：7 24.4点P在直线2x3y10上，P点到A(1,3)和B(1，5)的距离相等，则点P的坐标是_解析：A，B 的中点坐标为(0，1)，kAB4，线段 AB 的垂直平分线为 y14x1，解方程组2x3
2、y10，y14x1，得x85，y75.故点 P 的坐标是(85，75)答案：(85，75)5与直线7x24y50平行，并且距离等于3的直线方程是_解析：设所求的直线方程为 7x24yb0，由两条平行线间的距离为 3，得|b5|25 3，则 b80 或 b70，故所求的直线方程为 7x24y800 或 7x24y700.答案：7x24y800或7x24y7001两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.2几种距离过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程考点一 求两条直线的交点 自主解答 法一：
3、过点 M 且与 x 轴垂直的直线是 y 轴，它和两已知直线的交点分别是0，103 和(0,8)，显然不满足中点是点 M(0,1)的条件故可设所求直线方程为 ykx1，与两已知直线 l1，l2 分别交于 A、B 两点，联立方程组ykx1，x3y100，ykx1，2xy80，由解得 xA73k1，由解得 xB 7k2，点 M 平分线段 AB，xAxB2xM，即73k1 7k20.解得 k14，故所求直线方程为 x4y40.法二：设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A、B两点点B在直线l2：2xy80上，故可设B(t,82t)又M(0,1)是AB的中点，由中点坐标公式得A(t,2t6)A点在直线l
4、1：x3y100上，(t)3(2t6)100，解得t4.B(4,0)，A(4,2)，故所求直线方程为x4y40.求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解：法一：由方程组x2y40，xy20，得x0，y2.即 P(0,2)ll3，kl43，直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为x2y4(xy2)0.即(1)x(2)y420，l与l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线l的方程为12x9y180，即4x3y60.考点二 距离的计算与应用 已知三直线 l1：2xya0(a
5、0)，直线 l2：4x2y10 和 l3：xy10，且 l1 与 l2 的距离是 710 5.(1)求 a 的值；(2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件：P 是第一象限的点；P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的12；P 点到l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2 5.若能，求 P 点坐标；若不能，说明理由自主解答(1)l2 为 2xy120，l1 与 l2 距离为 d|a12|2212 7 510.a0，a3.(2)设存在点 P(x0，y0)满足，则 P 点在与 l1、l2 平行的直线 l：2xyc0 上且|c3|5 12|c12|5，即 c132 或 c
6、116，2x0y0132 0 或 2x0y0116 0.若 P 点满足条件，由点到直线的距离公式有：|2x0y03|5 25|x0y01|2，即|2x0y03|x0y01|，x02y040 或 3x020.P 在第一象限，3x020 不可能联立方程 2x0y0132 0 和x02y040，解得x03，y012.(舍去)，由2x0y0116 0，x02y040，得x019，y03718，P(19，3718)即为同时满足条件的点已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1：xy10和l2：xy60截得的线段之长为5，求直线l的方程解：法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1
7、、l2的交点分别为A(3，4)和B(3，9)，截得的线段AB的长|AB|49|5.符合题意若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x3)1.解方程组ykx31，xy10，得 A(3k2k1，4k1k1)解方程组ykx31，xy60，得 B(3k7k1，9k1k1)由|AB|5，得(3k2k1 3k7k1)2(4k1k1 9k1k1)252.解之，得 k0，即欲求的直线方程为 y1.综上可知，所求 l 的方程为 x3 或 y1.法二：由题意，直线 l1、l2 之间的距离为d|16|2 5 22，且直线 l 被平行直线 l1、l2 所截得的线段 AB 的长为 5(如图所示)，设直线 l 与直线
8、 l1 的夹角为，则 sin52 25 22，故 45.由直线 l1：xy10 的倾斜角为 135，知直线 l 的倾斜角为 0或 90，又由直线 l 过点 P(3,1)，故直线 l 的方程为 x3 或 y1.已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程考点三 对 称 问 题 自主解答(1)设 A(x，y)，再由已知y2x1231，2x12 3y22 10.解得x3313，y 413.A(3313，413)(2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则
9、M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设对称点为 M(a，b)，则2a223b0210，b0a2231.解得 M613，3013.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60.得 N(4,3)又m经过点 N(4,3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.(3)法一：在 l：2x3y10 上任取两点，如 M(1,1)，N(4,3)，则 M，N 关于点 A(1，2)的对称点 M，N均在直线 l上，易得 M(3，5)，N(6，7)，再由两点式可得 l的方程为 2x3y90.法二：ll，设 l的方程为 2x3yC0(C1)点 A(1，2)到两直线 l，
10、l的距离相等，由点到直线的距离公式得|26C|2232|261|2232，解得 C9，l的方程为 2x3y90.法三：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.已知直线l：xy30，一光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上一点C，最后又从C点反射回A点(1)试判断由此得到的ABC是有限个还是无限个？(2)依你的判断，认为是无限个时求出所有这样ABC的面积中的最小值；认为是有限个时求出这样的线段BC的方程解：(1)如图所示，设 B(m,0)，点 A 关于 x轴的对称点为 A
11、(1，2)点 B 关于直线 xy30 的对称点为 B(3，m3)根据光学性质，点 C 在直线 AB 上，点 C 又在直线 BA 上求得 AB 的直线方程为y2m1(xm)由y2m1xm，yx3，得 xC35mm3.BA 的直线方程为 y2m14(x1)由y2m14x1，yx3得 xCm3m5.则35mm3 m3m5，得 3m28m30，m13或 m3.而当 m3 时，点 B 在直线 xy30 上，不能成为三角形，故这样的ABC 只有一个(2)当 m13时，B(13，0)，C(12，52)线段 BC 的方程为 3xy10(12x13)高考对这部分内容的考查往往与直线、圆锥曲线相结合，考查距离的计
12、算及对称问题，在考查这些知识的同时，又考查了直线、圆锥曲线的相关知识点，是一种重要考向，属于中高档题考题印证(13 分)(2010安徽高考)已知椭圆 E 经过点 A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率 e12.(1)求椭圆 E 的方程；(2)求F1AF2 的角平分线所在直线 l 的方程；(3)在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由规范解答(1)设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21，由 e12，即ca12，得 a2c，得 b2a2c23c2.椭圆方程可化为 x24c2 y23c21.(2 分)将 A(2,3)代入上式
13、，得1c23c21，解得 c2，(3 分)椭圆 E 的方程为x216y2121.(4 分)(2)由(1)知 F1(2,0)，F2(2,0)，所以直线 AF1 的方程为：y34(x2)，即 3x4y60，直线 AF2 的方程为：x2.由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线 l 的斜率为正数设 P(x，y)为 l 上任一点，则|3x4y6|5|x2|.(6 分)若 3x4y65x10，得 x2y80(因其斜率为负，舍去)于是，由 3x4y65x10，得 2xy10，所以直线 l 的方程为：2xy10.(8 分)(3)假设存在 B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线 l 对称，则 lBC，k
14、BC12.设直线 BC 的方程为 y12xm，将其代入椭圆方程x216y2121，得一元二次方程 3x24(12xm)248，即 x2mxm2120.(10 分)则 x1 与 x2 是该方程的两个根由根与系数的关系得 x1x2m，于是 y1y212(x1x2)2m3m2，线段 BC 的中点坐标为(m2，3m4)又线段 BC 的中点在直线 y2x1 上，3m4 m1，得 m4.(12 分)即线段 BC 的中点坐标为(2,3)，与点 A 重合，而这是不可能的不存在满足题设条件的相异两点(13 分)1求两条平行线间的距离有两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条
15、直线的距离(2)直接利用两条平行线间的距离公式 d|C1C2|A2B2.2中心对称(1)若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x2ax1，y2by1.(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 l1l2，由点斜式得到所求直线的方程3轴对称在对称问题中，点关于直线对称是最基本也是最重要的对称，处理此类问题要抓住两点：(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中点在对称轴上另外要注意直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线
16、对称来处理1设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是 _解析：由于直线PA的倾斜角为45，且|PA|PB|，故直线PB的倾斜角为135，又当x2时，y3，即P(2,3)，直线PB的方程为y3(x2)，即xy50.答案：xy502点(a，b)关于直线xy10的对称点是_解析：设对称点为(x0，y0)，则有ax02by0210y0bx0a1，解得x0b1y0a1.答案：(b1，a1)3若点P(a,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy30表示的平面区域内，则实数a的值为_解析：由|4a91|54，得 a7 或 a3，
17、又 2a330.得 a0，a3.答案：34已知 5x12y60，则 x2y2的最小值是_解析：x2y2表示直线 5x12y60上的点与原点的距离，最小值为原点到直线的距离：d|0060|52122 6013.答案：60135直线2x3y60关于点M(1，1)对称的直线方程是_解析：依题意，所求直线与直线 2x3y60 平行，且点 M(1，1)到两直线的距离相等，故可设其方程为 2x3ym0，则|236|13|23m|13，解得 m8，故所求直线方程为 2x3y80.答案：2x3y806ABC的两条高所在直线的方程分别为2x3y10和xy0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程解：可以判断 A 不在所给的两条高所在的直线上，则可设 AB，AC 边上的高所在直线的方程分别为 2x3y10，xy0，则可求得 AB，AC 边所在直线的方程分别为 y232(x1)，y2x1，即 3x2y70，xy10.由3x2y70 xy0得 B(7，7)，由xy102x3y10 得 C(2，1)，所以 BC边所在直线的方程为 2x3y70.
