1、高考大题专项练一高考中的函数与导数1.(2020全国,文20)已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.解：(1)f(x)=3x2-k.当k=0时,f(x)=x3,故f(x)在区间(-,+)上单调递增;当k0,故f(x)在区间(-,+)上单调递增.当k0时,令f(x)=0,得x=3k3.当x-,-3k3时,f(x)0;当x-3k3,3k3时,f(x)0.故f(x)在区间-,-3k3,3k3,+内单调递增,在区间-3k3,3k3内单调递减.(2)由(1)知,当k0时,f(x)在区间(-,+)上单调递增,f(x)不可能有三个零点.当
2、k0时,x=-3k3为f(x)的极大值点,x=3k3为f(x)的极小值点.此时,-k-1-3k33k3k+1且f(-k-1)0,f-3k30.根据f(x)的单调性,当且仅当f3k30,即k2-2k3k90时,f(x)有三个零点,解得k427.因此k的取值范围为0,427.2.已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a1时,f(x)+e0.答案：(1)解f(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex,f(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明当a1时,f(x)+e(x2+x-1+ex+
3、1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1.当x-1时,g(x)-1时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)g(-1)=0.因此f(x)+e0.3.已知函数f(x)=2sin x-xcosx-x,f(x)为f(x)的导数.(1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点;(2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围.答案：(1)证明设g(x)=f(x),则g(x)=cosx+xsinx-1,g(x)=xcosx.当x0,2时,g(x)0;当x2,时,g(x)0,g()=-2,故g(x)在(0,)存在唯一零点.所以f(x)在(0,)存在唯一零点.(2)解
4、由题设知f()a,f()=0,可得a0.由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为x0,且当x(0,x0)时,f(x)0;当x(x0,)时,f(x)0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.解：设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2lnx-2x+1-c,其定义域为(0,+),h(x)=2x-2.(1)当0x0;当x1时,h(x)0.所以h(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.故当且仅当-1-c0,即c-1时,f(x)2x+c.所以c的取值范围为-1,+).(2)g(x)=f(x)
5、-f(a)x-a=2(lnx-lna)x-a,x(0,a)(a,+).g(x)=2x-ax+lna-lnx(x-a)2=21-ax+lnax(x-a)2.取c=-1得h(x)=2lnx-2x+2,h(1)=0,则由(1)知,当x1时,h(x)0,即1-x+lnx0.故当x(0,a)(a,+)时,1-ax+lnax0,从而g(x)0.所以g(x)在区间(0,a),(a,+)内单调递减.5.已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a1e时,f(x)0.答案：(1)解f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-1x.由题
6、设知,f(2)=0,所以a=12e2.从而f(x)=12e2ex-lnx-1,f(x)=12e2ex-1x.当0x2时,f(x)2时,f(x)0.所以f(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增.(2)证明当a1e时,f(x)exe-lnx-1.设g(x)=exe-lnx-1,则g(x)=exe-1x.当0x1时,g(x)1时,g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x0时,g(x)g(1)=0.因此,当a1e时,f(x)0.6.定义在实数集上的函数f(x)=x2+x,g(x)=13x3-2x+m.(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;(2)若f(x)g(x
7、)对任意的x-4,4恒成立,求实数m的取值范围.解：(1)f(x)=x2+x,当x=1时,f(1)=2,f(x)=2x+1,f(1)=3,所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=13x3-x2-3x+m,则h(x)=(x-3)(x+1).当-4x0;当-1x3时,h(x)0;当3x0.要使f(x)g(x)恒成立,即h(x)max0,由上知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得,而h(-1)=m+53,h(4)=m-203,故m+530,即m-53,故实数m的取值范围为-,-53.7.已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x
8、(aR).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1(0,2,均存在x2(0,2,使得f(x1)0).(1)f(x)=(ax-1)(x-2)x(x0).当a0时,x0,ax-10,在区间(2,+)内,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+).当0a2,在区间(0,2)和1a,+内,f(x)0,在区间2,1a内,f(x)12时,01a0,在区间1a,2内,f(x)0,故f(x)的单调递增区间是0,1a和(2,+),单调递减区间是1a,2.(2)对任意x1(0,2,均存在x2(0,2,使得f(x1)g(x2)在区间(0,2上有f(x)m
9、axg(x)max.由题意可知g(x)max=0,由(1)可知,当a12时,f(x)在区间(0,2上单调递增.故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2,所以-2a-2+2ln2ln2-1.故ln2-112时,f(x)在区间0,1a上单调递增,在区间1a,2上单调递减,故f(x)max=f1a=12a-(2a+1)1a+2ln1a=-12a-2-2lna12时,12a+2lna12a+2lne-1=12a-2-2.故a12时满足题意.综上,a的取值范围为(ln2-1,+).8.设函数f(x)=lnx-a(x-1)ex,其中aR.(1)若a0,讨论f(x)的
10、单调性.(2)若0ax0,证明3x0-x12.答案：(1)解由已知,f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=1x-aex+a(x-1)ex=1-ax2exx.因此当a0时,1-ax2ex0,从而f(x)0,所以f(x)在(0,+)内单调递增.(2)证明由(1)知,f(x)=1-ax2exx.令g(x)=1-ax2ex,由0a0,且gln1a=1-aln1a21a=1-ln1a20,故g(x)=0在(0,+)内有唯一解,从而f(x)=0在(0,+)内有唯一解,不妨设为x0,则1x0g(x0)x=0,所以f(x)在(0,x0)内单调递增;当x(x0,+)时,f(x)=g(x)x1时,h(x)=1
11、x-11时,h(x)h(1)=0,所以xx-1.从而fln1a=lnln1a-aln1a-1eln1a=lnln1a-ln1a+1=hln1af(1)=0,所以f(x)在(x0,+)内有唯一零点.又f(x)在(0,x0)内有唯一零点1,从而,f(x)在(0,+)内恰有两个零点.由题意,f(x0)=0,f(x1)=0,即ax02ex0=1,lnx1=a(x1-1)ex1,从而lnx1=x1-1x02ex1-x0,即ex1-x0=x02lnx1x1-1.因为当x1时,lnxx01,故ex1-x0x02(x1-1)x1-1=x02,两边取对数,得lnex1-x0lnx02,于是x1-x02lnx02.
