1、3.2 函数模型及其应用32.1几类不同增长的函数模型目标 1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用；2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较；3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题重点 几类不同函数模型增长的含义及差异难点 如何选择数学模型分析解决实际问题.知识点三类不同增长的函数模型的比较填一填1三类函数模型的性质2.函数yax(a1)，ylogax(a1)或yxn(n0)增长速度的对比(1)对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长
2、，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.(2)对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnx2，有时x22x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的y2x与yx2图象在(0，)上有两个交点(2,4)，(4,16)当x4
3、时，y2x的增长速度远远快于yx2的增长速度2在函数y3x，ylog3x，y3x，yx3中增长速度最快的是哪一个函数？提示：y3x.3当0a1，nx0时，logaxaxxn，而当xx0时，ax，logax，xn的大小不确定类型一函数模型增长差异的比较例1函数f(x)2x和g(x)x3的大致图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x18x22 011.由图象可知，当x1xx2时，f(x)x2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，)上是增函数，f(2 011)g(2 011)g(8)f(8)
4、除了根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断.,根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 变式训练1四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i1,2,3,4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)x2，f2(x)2x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(D)Af1(x)x2Bf2(x)2xCf3(x)log2x Df4(x)2x解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数
5、函数增长速度越来越快，因而最终物体4会在最前面，故选D.类型二函数增长模型差异的应用例2某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？分析解借助工具作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(如图所示)观察图象可知，在区间5,60上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图
6、象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.变式训练2一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第
7、二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？解：若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.按单利计息，则第n年的本息为10 000(1n0.80.04)10 000(10.032n)(元)；按复利计息，则第n年的本息为10 000(13.6%0.8)n10 0001.028 8n(元)，列表如下(单位：元)从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息1当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)Ay2xBy1 000x50Cyx100 Dylog
8、100x解析：根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y2x的增长速度最快2能反映如图所示的曲线的增长趋势的是(C)A一次函数 B幂函数C对数函数 D指数函数解析：从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象3某航空公司规定，乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为(A)A19 kg B16 kgC25 kg D30 kg解析：将点(30,330)与(40,630)代入ykxb得得k30，b570，y30x570.令y0得x19.4当2x2xlog2x.解析：令x3得x22xlog2x.5根据函数f
9、(x)2x，g(x)2x，h(x)log2x给出以下命题：f(x)，g(x)，h(x)在其定义域上都是增函数；f(x)的增长速度始终不变；f(x)的增长速度越来越快；g(x)的增长速度越来越快；h(x)的增长速度越来越慢其中正确的命题序号为.解析：f(x)2x的增长速度始终不变，g(x)的增长速度越来越快，而h(x)的增长速度越来越慢，故只有正确本课须掌握的两大问题1三类函数增长的比较在区间(0，)上，尽管函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当xx0，就有logaxxn0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快
