1、 学科网（北京）股份有限公司数学试题 第 1 页（共 4 页）苏州大学 2024 届高考新题型 2 月指导卷 数 学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1满足 ,aAa b c d的集合 A 共有 A7 个 B8个 C15个 D16个 2设0
2、 x的左右焦点分别为1F，2F，过2F 且与 x 轴垂直的直线与 C 的一个交点为 P，12PF F的内心为 M，若2|2MF=，则C 的离心率为 A2 B 32 C 3 D2 8若3sincos10+=，则1tan()8tan()8+=+A 7 B 14 C 17 D 27 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9已知数列na的前n 项和为nS，且122nnnaaa+=+，79SS=，则 A160S=B2 na是等比数列 CnS的最大项为8S DnSn是等差数列 10
3、设0a，0b，且1ab+=，则 A 22loglog2ab+B 222 2ab+Cln0ab+D1sin sin4ab 的复数 z=_ 13若6(12)x+展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则 ba=_ 14过抛物线 26(0)yx p=的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，C 在抛物线的准线上，则ACB的最大值为_；若 ACB为等边三角形，则其边长为_ 学科网（北京）股份有限公司数学试题 第 3 页（共 4 页）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）甲、乙、丙三人同时对一飞行物进行射击，三人击中的概率分别为0
4、.5，0.6，0.7 若飞行物被一人击中，则被击落的概率为0.2；若被两人击中，则被击落的概率为0.4；若被三人击中，则被击落的概率为0.9 （1）求飞行物被两人击中的概率；（2）求飞行物被击落的概率 16（15 分）在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为正方形，PA 平面 ABCD，2PAAB=，E 为线段 PB 的中点，F 为线段 BC 上的动点（1）证明：平面 AEF 平面 PBC；（2）若直线 AF 与平面 PAB 所成的角的余弦值为 2 55，求点 P 到平面 AEF 的距离 17（15 分）已知在 ABC与 A BC中，ABAC=，A 与 A在直线 BC 的同侧，ABACA B
5、A C+=+，直线 AC 与直线 A B交于O （1）若2AB=，1A C=，求sin A 的取值范围；（2）证明：OAOA 学科网（北京）股份有限公司数学试题 第 4 页（共 4 页）18（17 分）已知函数()(1)1f xxx=+，其中1x ，01 （1）讨论()f x 的单调性；（2）若 01ba，证明：abbaabab+19（17 分）国际象棋是国际通行的智力竞技运动国际象棋使用8 8格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的1 2格灰色方格 若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；棋盘上每一格都被骨牌覆盖；没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋
6、盘的一种完全覆盖显然，我们能够举例说明8 8格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖（1）证明：切掉8 8格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；（2）请你切掉8 8格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；（3）记m n格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为(,)F m n，数列(2,)Fn的前n 项 和为nS，证明：(2,2)2nSFn=+国际象棋棋盘骨牌 学科网（北京）股份有限公司数学参考答案 第 1 页（共 3 页）苏州大学 2024 届新高考新题型 2 月指导卷 数学试
7、题参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1B 2D 3C 4D 5C 6A 7A 8B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。9ABD 10BCD 11BD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，多空题第一空 2 分，第二空 3 分，共 15 分。1233i（答案不唯一）1312 1490；18 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。15（13 分）解：（1）记事件(1,2,3)iA i=表示“飞行物被i 个人击中”，事件(1,2,3)iB i=分别表示“飞 行物被甲、乙、丙击中”，由题意知1()0.5P B=，2()0.6P
8、 B=，3()0.7P B=，则 2123123123123123123()()()()()0.5 0.6(1 0.7)0.5(1 0.6)0.7(1 0.5)0.6 0.70.090.140.210.44P AP B B BB B BB B BP B B BP B B BP B B B=+=+=+=故飞行物被两人击中的概率为0.44；（2）记事件C 表示“飞行物被击落”，由题意知0(|)0P C A=，1(|)0.2P C A=，2(|)0.4P C A=，3(|)0.9P C A=，而0123()()(1 0.5)(1 0.6)(1 0.7)0.06P AP B B B=，11231231
9、23123123123()()()()()0.5(1 0.6)(1 0.7)(1 0.5)(1 0.6)0.7(1 0.5)0.6(1 0.7)0.060.140.090.29P AP B B BB B BB B BP B B BP B B BP B B B=+=+=+=3123()()0.5 0.6 0.70.21P AP B B B=，从而由全概率公式得 00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)0.06 00.29 0.20.44 0.40.21 0.90.423P CP AP C AP AP C AP AP C AP AP C A=+=+=故飞行物被击落的概率为0.4
10、23 学科网（北京）股份有限公司数学参考答案 第 2 页（共 3 页）16（15 分）（本题亦可使用几何法求距离）解：（1）在四棱锥 PABCD中，因为底面 ABCD 为正方形，所以 BCAB，又因为 PA 平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以 PABC，而 PAABA=，PA，AB 平面 PAB，所以 BC 平面 PAB，又 AE 平面 PAB，所以 BCAE，而 PAAB=，E 为线段 PB 的中点，所以 AEPB，而 PBBCB=，PB，BC 平面 PBC，所以 AE 平面 PBC，又因为 AE 平面 AEF，所以平面 AEF 平面 PBC；（2）在四棱锥 PABCD中，因为底面
11、ABCD 为正方形，所以 ABAD，又因为 PA 平面 ABCD，AB，AD 平面 ABCD，所以 AB，AD，AP 三条直线两两垂直，从而以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设 (02)BFtt=，则(2,0)Ft，(0,0,0)A，(2,0,0)B，(0,0,2)P，(1,0,1)E，而(0,1,0)u=是平面 PAB 的一个法向量，(1,0,1)AE=，(2,0)AFt=，由直线 AF 与平面 PAB 所成的角的 余弦值为 2 55知，2|2 5|cos,|1()5|AF uAF uAFu=，即 2554tt=+，
12、解得1t=，所以(2,1,0)F，(2,1,0)AF=设平面 AEF 的一个法向量(,)nx y z=，则00n AEn AF=，即020 xzxy+=+=，不妨取1x=，则(1,2,1)n=，而(0,0,2)AP=，所以|6|3AP ndn=，故点 P 到平面 AEF 的距离为63 17（15 分）解：（1）在 ABC中，因为2ABAC=，1A C=，所以23A BABA C=，设 BCa=，由于|ABACaABACA BA CaA BA C+，所以24a，由余弦定理得2222cos128ACABaaAAC AB+=，所以11cos2A，从而 3A，故 0sin1A，只需证明设 ABACb=
13、，A Bm=，A Cn=，A Ad=，由题意知bnmb=，从而在 CAA与 BAA中由余弦定理得 2222222222222()()()coscos222()()()()()022bdnmdbdmbb bmm bnbdmdmbdmb dbmbmbmnmb dmb dbmmbdmbd+=+=所以，故OAOA 学科网（北京）股份有限公司数学参考答案 第 3 页（共 3 页）18（17 分）解：（1）1()(1)fxx=+，令()()g xfx=，2()(1)(1)g xx =+，当01 时，()0g x，()()fxg x=在(1,)+上单调递减，又(0)0f=，所以当 10 x，()f x 单调
14、递增；当0 x 时，()0fx，()f x 单调递减；（2）已知 01ba，要证明 abbaabab+，也即证明 bababbaa，只要证明()bah xxx=在 1bx 时单调递减111()()baaa bbh xbxaxaxxa=，当 1()a bbxa时，()0h x，()h x 单调递减，从而只需证明 1()a bbba，变换得 11 a bba +，由第（1）问知，当 10 x，01 时，()(1)1(0)0f xxxf=+=，也即(1)1xx+，从而 111111(1)1 1a ba baaaab+=+，故只需证明（充分不必要）11 1abab+，化简得 ab，显然成立，故命题得证
15、 19（17 分）解：（1）由于每块骨牌覆盖的都是相邻的两个异色方格，故棋盘的黑白方格数目相同是其能被骨牌完全覆盖的必要条件，但切掉8 8格黑白方格相间棋盘的对角两格后，要么黑色方格比白色方格多两个，要么白色方格比黑色方格多两个，故余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；（2）切掉两个异色方格并作完全覆盖示例如图 1；如图 2，8 8格黑白方格相间棋盘能够被红线分割为黑白方格依次相邻且首尾相接的“方格条”，无论切掉其中哪两个黑白方格，都会将“方格条”拆成一至两个“短方格条”，且每个“短方格条”中黑白方格的数目是相同的，都能够被骨牌完全覆盖，故余下棋盘能一定被骨牌完全覆盖；图 1 图 2 图 3（3）如图 3，可知完全覆盖方式数的递推公式为*(2,2)(2,1)(2,)()FnFnFnn+=+N，其中(2,1)1F=，(2,2)2F=从而(2,3)(2,2)(2,1)FFF=+，(2,4)(2,3)(2,2)FFF=+，(2,2)(2,1)(2,)FnFnFn+=+，累加得21 31nnnSSS+=+，移项得(2,2)2nSFn=+
